Комплексные числа и корни из единицы

[Maxim19]

Здравствуйте, читаю Кострикина и нашёл такое: "$C$ содержит все корни из 1". Объясните, почему в этом такая уверенность? Если думать в вещественных, то говорили в школе, что вот все корни 4 степени это -1 и 1, далее до комплексных развили, и получили другой ответ. Разве количество корней не зависит от того, как мы смотрим на число? Почему такая уверенность, что прям все содержит?

[Combat Zone]

Так почём знать, - это ж надо видеть, что он еще об этом пишет.

[Maxim19]

Ну если нужно, я могу там страничку кинуть, что Вы хотите?

[Combat Zone]

Я-то ничего не хочу, это вы вроде хотите что-то понять и чтобы вам объяснили. Ну так цитируйте более-менее достаточный для объяснений текст.

[Maxim19]

"Преимущество поля $C$ перед $R$ мы сможем оценить полностью лишь впоследствии, но уже один тот факт, что $C$ содержит все корни из 1, оправдывает повышенный интерес к комплексным числам". Вот так вот

[Combat Zone]

Maxim19
Поле комплексных чисел принято записывать вот так: \mathbb C
Иначе никто не обязан считать, что С - это поле комплексных чисел. Потому Ваш вопрос и прозвучал с недостатком данных.
А так - да, содержит. Следует из формулы Муавра. Оттуда и уверенность.

[Maxim19]

Эту формулу я знаю, но она смотрит двумерные числа. Я не спорю, что она выражает все корни из комплексных, но почему говорится, что нет корней не из комплексных, а более расширенных штук

[Combat Zone]

Потому что основная теорема алгебры сообщает нам, что многочлен n-й степени имеет n корней. Все они лежат в поле комплексных чисел. Всё.
P.S. Какие-такие двумерные числа?

[Maxim19]

Двумерные, то есть отожествлённые с плоскостью. Спасибо за ответ, теперь я понял, откуда оценка сверху. Просто это говорится до даже понятия многочленов

[ewert]

Maxim19 в сообщении #1590491 писал(а):

"Преимущество поля $C$ перед $R$ мы сможем оценить полностью лишь впоследствии, но уже один тот факт, что $C$ содержит все корни из 1, оправдывает повышенный интерес к комплексным числам". Вот так вот

Ну да, очень плохо написано; фраза действительно бессмысленна, Ваши претензии вполне справедливы. Следовало сказать что-нибудь вроде "... уже то, что из любого числа можно извлечь корень любой степени; более того, как мы дальше увидим, любой многочлен..."

[мат-ламер]

Maxim19 в сообщении #1590483 писал(а):

"$C$ содержит все корни из 1". Объясните, почему в этом такая уверенность? Если думать в вещественных, то говорили в школе, что вот все корни 4 степени это -1 и 1, далее до комплексных развили, и получили другой ответ. Разве количество корней не зависит от того, как мы смотрим на число? Почему такая уверенность, что прям все содержит?

Если рассматривать кватернионы, то там появляются новые корни из единицы.

Maxim19 в сообщении #1590491 писал(а):

"Преимущество поля $C$ перед $R$

Возможно наше рассмотрение ограничивается исключительно полями. А кватернионы поля не образуют.

[Maxim19]

мат-ламер
А как это уживается с тем, что у многочлена n степени лишь n корней?

[пианист]

В $\mathbb{H}$ не так. Это можно понять, например, из такого наблюдения: любая чисто мнимая комбинация в квадрате даст вещественное число.

[мат-ламер]

Maxim19 в сообщении #1590720 писал(а):

мат-ламер
А как это уживается с тем, что у многочлена n степени лишь n корней?

Не имею понятия. "Это" (в смысле, моё предыдущее сообщение) касается кватернионов.

Maxim19 в сообщении #1590720 писал(а):

у многочлена n степени лишь n корней?

А тут речь идёт о комплексных числах. Не обязано уживаться.

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1590769 писал(а):

"Это" (в смысле, моё предыдущее сообщение) касается кватернионов.

У кватернионов умножение не коммутативно (т.е. они образуют не поле, а тело).