2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 02:21 
Здравствуйте, читаю Кострикина и нашёл такое: "$C$ содержит все корни из 1". Объясните, почему в этом такая уверенность? Если думать в вещественных, то говорили в школе, что вот все корни 4 степени это -1 и 1, далее до комплексных развили, и получили другой ответ. Разве количество корней не зависит от того, как мы смотрим на число? Почему такая уверенность, что прям все содержит?

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 02:45 
Аватара пользователя
Так почём знать, - это ж надо видеть, что он еще об этом пишет.

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 02:46 
Ну если нужно, я могу там страничку кинуть, что Вы хотите?

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 02:49 
Аватара пользователя
Я-то ничего не хочу, это вы вроде хотите что-то понять и чтобы вам объяснили. Ну так цитируйте более-менее достаточный для объяснений текст.

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 02:52 
"Преимущество поля $C$ перед $R$ мы сможем оценить полностью лишь впоследствии, но уже один тот факт, что $C$ содержит все корни из 1, оправдывает повышенный интерес к комплексным числам". Вот так вот

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 03:05 
Аватара пользователя
Maxim19
Поле комплексных чисел принято записывать вот так: \mathbb C
Иначе никто не обязан считать, что С - это поле комплексных чисел. Потому Ваш вопрос и прозвучал с недостатком данных.
А так - да, содержит. Следует из формулы Муавра. Оттуда и уверенность.

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 03:08 
Эту формулу я знаю, но она смотрит двумерные числа. Я не спорю, что она выражает все корни из комплексных, но почему говорится, что нет корней не из комплексных, а более расширенных штук

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 03:11 
Аватара пользователя
Потому что основная теорема алгебры сообщает нам, что многочлен n-й степени имеет n корней. Все они лежат в поле комплексных чисел. Всё.
P.S. Какие-такие двумерные числа?

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 03:16 
Двумерные, то есть отожествлённые с плоскостью. Спасибо за ответ, теперь я понял, откуда оценка сверху. Просто это говорится до даже понятия многочленов

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 06:31 
Maxim19 в сообщении #1590491 писал(а):
"Преимущество поля $C$ перед $R$ мы сможем оценить полностью лишь впоследствии, но уже один тот факт, что $C$ содержит все корни из 1, оправдывает повышенный интерес к комплексным числам". Вот так вот

Ну да, очень плохо написано; фраза действительно бессмысленна, Ваши претензии вполне справедливы. Следовало сказать что-нибудь вроде "... уже то, что из любого числа можно извлечь корень любой степени; более того, как мы дальше увидим, любой многочлен..."

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение21.04.2023, 07:14 
Аватара пользователя
Maxim19 в сообщении #1590483 писал(а):
"$C$ содержит все корни из 1". Объясните, почему в этом такая уверенность? Если думать в вещественных, то говорили в школе, что вот все корни 4 степени это -1 и 1, далее до комплексных развили, и получили другой ответ. Разве количество корней не зависит от того, как мы смотрим на число? Почему такая уверенность, что прям все содержит?

Если рассматривать кватернионы, то там появляются новые корни из единицы.
Maxim19 в сообщении #1590491 писал(а):
"Преимущество поля $C$ перед $R$

Возможно наше рассмотрение ограничивается исключительно полями. А кватернионы поля не образуют.

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение23.04.2023, 02:52 
мат-ламер
А как это уживается с тем, что у многочлена n степени лишь n корней?

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение23.04.2023, 08:14 
Аватара пользователя
В $\mathbb{H}$ не так. Это можно понять, например, из такого наблюдения: любая чисто мнимая комбинация в квадрате даст вещественное число.

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение23.04.2023, 14:20 
Аватара пользователя
Maxim19 в сообщении #1590720 писал(а):
мат-ламер
А как это уживается с тем, что у многочлена n степени лишь n корней?

Не имею понятия. "Это" (в смысле, моё предыдущее сообщение) касается кватернионов.
Maxim19 в сообщении #1590720 писал(а):
у многочлена n степени лишь n корней?

А тут речь идёт о комплексных числах. Не обязано уживаться.

 
 
 
 Re: Комплексные числа и корни из единицы
Сообщение23.04.2023, 15:59 
мат-ламер в сообщении #1590769 писал(а):
"Это" (в смысле, моё предыдущее сообщение) касается кватернионов.
У кватернионов умножение не коммутативно (т.е. они образуют не поле, а тело).

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group