Да, конечно, у меня кольцо с единицей. Я никогда не видел, чтобы жаргон с единицами рассматривался бы в кольце без единицы, поэтому везде, где встречаются вещи, подобные

, единица должна быть. Грубо говоря, это следует как бы из самой нотации (но лучше это обговаривать явно). Но, разумеется, это все относится к случаям "свободного" использования нотации (когда объект "3" не вводится явно). Вообще, кольца с единицей находятся с просто кольцами примерно в таком же отношении, как, например, полные метрические пространства по отношению к просто метрическим пространствам - отсюда и название процедуры
пополнения кольца единицей. А так, наиболее богатой "минимальной" структурой кольца является ассоциативное кольцо с единицей, поэтому некоторые авторы называют кольцами даже такой случай. Но коммутативность обговаривают всегда, это точно.
Посмотрим кольцо вычетов по тройке. Пусть

это из этого кольца.

но 3 не входит.
А по-моему, входит. Просто у меня за "1" была обозначена единица кольца

. В

единица - это
![$[1]$ $[1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/7/d478bbb960d11a0df52c338c436f402a82.png)
. Тогда
![$ 3 = [1] + [1] + [1] = [1 + 1 + 1] = [3] = [0] = 0$ $ 3 = [1] + [1] + [1] = [1 + 1 + 1] = [3] = [0] = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/7/dc77a35f1eb5112c7f19e697d688b77882.png)
. Да, получилось, что

(здесь опять жаргон - ноль кольца обозначать как "

"). Но это нормально, может быть и

, и даже

(в тривиальном кольце).