Индексы у кольца

[Maxim19]

Здравствуйте, возник вопрос: пусть $K$ это какое то кольцо, неважно. $a+a+a=3a$. Я же правильно понимаю, что 3 не обязательно входит в множество $K$? То есть это не умножение в группе, а просто сокращение той цепочки плюсов?

[EminentVictorians]

$3$ - это просто сокращение для $1 + 1 + 1$

$$a+a+a = a(1 + 1 +1) = a \cdot 3$$

Maxim19 в сообщении #1590474 писал(а):

Я же правильно понимаю, что 3 не обязательно входит в множество $K$?

Как видите, обязательно.

(Оффтоп)

Забавно у Вас интересы устроены: в один день спрашиваете и про кольца, и про производную Радона-Никодима

[Maxim19]

Почему же обязательно? Посмотрим кольцо вычетов по тройке. Пусть $a$ это из этого кольца. $a+a+a=3a$ но 3 не входит. А если кольцо вообще не чисел, а каких нибудь отображений

[svv]

Многие авторы (например, ван дер Варден, Кострикин, Винберг, Курош) не требуют существования единицы в кольце. Пример кольца без единицы — кольцо чётных чисел. Конечно, и здесь можно ввести обозначение $3a$ для $a+a+a$, но $3$ элементом кольца уже не будет.

В кольце с единицей
$a+a+a=e\cdot a+e\cdot a+e\cdot a=(e+e+e)\cdot a$
Но не спешите закреплять за $e+e+e$ обозначение $3$, потому что в кольце может быть и $e+e+e=e$, и $e+e+e=0$.

В поле Галуа $\mathrm{GF}(4)$ (которое тоже кольцо) четыре элемента, и есть основания один из них обозначить $3$. Но $3\cdot a$ вовсе не равно $a+a+a$.

[Maxim19]

Хорошо, сбивает то, что в книге есть обозначения $3a$, как цепочки, хотя в голове сидит мысль об операции перемножения. В общем я правильно понимал

[EminentVictorians]

Да, конечно, у меня кольцо с единицей. Я никогда не видел, чтобы жаргон с единицами рассматривался бы в кольце без единицы, поэтому везде, где встречаются вещи, подобные $a + a + a = 3a$, единица должна быть. Грубо говоря, это следует как бы из самой нотации (но лучше это обговаривать явно). Но, разумеется, это все относится к случаям "свободного" использования нотации (когда объект "3" не вводится явно). Вообще, кольца с единицей находятся с просто кольцами примерно в таком же отношении, как, например, полные метрические пространства по отношению к просто метрическим пространствам - отсюда и название процедуры пополнения кольца единицей. А так, наиболее богатой "минимальной" структурой кольца является ассоциативное кольцо с единицей, поэтому некоторые авторы называют кольцами даже такой случай. Но коммутативность обговаривают всегда, это точно.

Maxim19 в сообщении #1590482 писал(а):

Посмотрим кольцо вычетов по тройке. Пусть $a$ это из этого кольца. $a+a+a=3a$ но 3 не входит.

А по-моему, входит. Просто у меня за "1" была обозначена единица кольца $K$. В $\mathbb Z / 3\mathbb Z$ единица - это $[1]$. Тогда $ 3 = [1] + [1] + [1] = [1 + 1 + 1] = [3] = [0] = 0$. Да, получилось, что $3 = 0$ (здесь опять жаргон - ноль кольца обозначать как "$0$"). Но это нормально, может быть и $2 = 0$, и даже $1 = 0$ (в тривиальном кольце).