Доказательство теоремы Штурма из Кострикина

[areak]

Здравствуйте! Пытаюсь понять доказательство теоремы Штурма из Кострикина. Оно выглядит совсем несложным, но возникает такое ощущение, что в нём присутствуют опечатки, которые препятствуют моему пониманию доказательства. Я был бы крайне благодарен, если Вы прочтёте найденные мной возможные опечатки и поправите меня, если я не прав. Я окончательно запустался и не понимаю, действительно ли в доказательстве есть опечатки или это я чего-то не могу осознать.

В доказательстве используется понятие числа перемен знаков в последовательности (определение 1) и понятие системы Штурма (определение 2):



Формулировка теоремы:



Само доказательство:




Первый непонятный момент выделен красным цветом с цифрой 1. Автор пишет, что в случае $f_{i}(c) \ne 0$ для всех $i$ выполнено неравенство. Но по условию $c$ принадлежит интервалу, в котором изначально нет корней ни у одного многочлена из системы Штурма, так что по логике вместо $f_{i}(c) \ne 0$ должно быть $f_{i}(a_{0}) \ne 0$, ибо как раз в точке $a_{0}$ многочлены могут иметь корень.

Второй непонятный момент выделен красным цветом с цифрой 2. Автор говорит, что $V_{a_{0}} = V_{c}$ верно для всех $k$, хотя при $f_{k}(a_{0}) = 0$ мы наложили на $k$ ограничение $0<k<s$. Т.е. по идее доказанное утверждение верно не для всех $k$, а только для $0<k<s$. Сразу же после слов "для всех $k$" автор говорит, что $f(a_{0}) = 0$, хотя мы явно рассматривали случай $f_{k}(a_{0}) = 0$, а не $f(a_{0}) = 0$.

Если принять два этих исправленных момента за правду, то доказательсво для $]a_{0}, a_{1}[$ кажется верным.

Во второй части доказательства автор рассматривает соседние интервалы и говорит, что $V_{c} = V_{c'}$ при условии $f(a_{j}) \ne 0$ и поясняет своё утверждение тем, что $V_{c} = V_{a_{j}} = V_{c'}$. Каким-то образом Кострикин доказал, что $V_{c} = V_{a_{j}}$, а т.к. по доказанному в 1-й части $V_{a_{j}} = V_{c'}$, то напрашивается логический вывод: $V_{c} = V_{a_{j}} = V_{c'}$. Но непонятно каким образом было доказано $V_{c} = V_{a_{j}}$. Единственная мысль, которая приходит на ум - провести аналогичное доказательство для интервала $]a_{0}, a_{1}[$, но осуществлять движение аргумента $c$ не от точки $a_{0}$ к точке $a_{1}$, а от точки $a_{1}$ к точке $a_{0}$.

[svv]

1) Да, следует читать «В случае $f_i(a_0)\neq 0$ для всех $i$ ...»

2) Да, следует читать «Это верно для всех $k$ с $f_k(a_0)=0$ ...»

3),4) Всюду ниже считаем, что $f_0(a_j)\neq 0$. Единственная точка на отрезке $[c,c']$, где многочлены системы могут иметь корни, — это $a_j$.

Если в действительности ни один многочлен в $a_j$ не имеет корней, то знаки всех многочленов на $[c,c']$ постоянны и $V_c=V_{c'}$.

Если же $f_k(a_j)=0$ при некотором $k$, то $k\neq 0$ по предположению и $k\neq s$ по свойству iv). Кроме того, $f_{k-1}(x)$ и $f_{k+1}(x)$ не равны нулю при $x=a_j$, потому что соседние многочлены одновременно в нуль не обращаются. Следовательно, $f_{k-1}(x)$ и $f_{k+1}(x)$ не обращаются в нуль на отрезке $[c,c']$ и потому имеют на нём постоянные знаки. В силу iii) $f_{k-1}(x)f_{k+1}(x)<0$ при $x=a_j$, а в силу постоянства знаков и при любом $x\in[c,c']$. Заметим, что при $f_{k-1}(x)f_{k+1}(x)<0$ в последовательности
$f_0(x),...,{\color{magenta}f_{k-1}(x),f_k(x),f_{k+1}(x)},...,f_s(x)$
на выделенном участке будет ровно одна перемена знаков независимо от значения $f_k(x)$. Следовательно, и в этом случае $V_c=V_{c'}$.

[areak]

svv, большое спасибо за ответ и за уделённое время!