Здравствуйте! Пытаюсь понять доказательство теоремы Штурма из Кострикина. Оно выглядит совсем несложным, но возникает такое ощущение, что в нём присутствуют опечатки, которые препятствуют моему пониманию доказательства. Я был бы крайне благодарен, если Вы прочтёте найденные мной возможные опечатки и поправите меня, если я не прав. Я окончательно запустался и не понимаю, действительно ли в доказательстве есть опечатки или это я чего-то не могу осознать.
В доказательстве используется понятие числа перемен знаков в последовательности (определение 1) и понятие системы Штурма (определение 2):

Формулировка теоремы:

Само доказательство:


Первый непонятный момент выделен красным цветом с цифрой 1. Автор пишет, что в случае

для всех

выполнено неравенство. Но по условию

принадлежит интервалу, в котором изначально нет корней ни у одного многочлена из системы Штурма, так что по логике вместо

должно быть

, ибо как раз в точке

многочлены могут иметь корень.
Второй непонятный момент выделен красным цветом с цифрой 2. Автор говорит, что

верно для всех

, хотя при

мы наложили на

ограничение

. Т.е. по идее доказанное утверждение верно не для всех

, а только для

. Сразу же после слов "для всех

" автор говорит, что

, хотя мы явно рассматривали случай

, а не

.
Если принять два этих исправленных момента за правду, то доказательсво для
![$]a_{0}, a_{1}[$ $]a_{0}, a_{1}[$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/c/aacf5927a0a4762a13a0eb4d2a64448b82.png)
кажется верным.
Во второй части доказательства автор рассматривает соседние интервалы и говорит, что

при условии

и поясняет своё утверждение тем, что

. Каким-то образом Кострикин доказал, что

, а т.к. по доказанному в 1-й части

, то напрашивается логический вывод:

. Но непонятно каким образом было доказано

. Единственная мысль, которая приходит на ум - провести аналогичное доказательство для интервала
![$]a_{0}, a_{1}[$ $]a_{0}, a_{1}[$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/c/aacf5927a0a4762a13a0eb4d2a64448b82.png)
, но осуществлять движение аргумента

не от точки

к точке

, а от точки

к точке

.