Кольцо для полинома

[Nartu]

Во время работы над одной задачей(долго объяснять) я получил другую и хотел бы ею поделится. А за одно проверить — бред это или нет?
Я создавал строки со специфическими свойствами и получал линейные функции на их буквы(не спрашивайте). Часто совпадения.. В итоге появилась идея поиска полиномов, у которых либо эти числа есть корни(что не проблема, кратные будут), либо же степень полинома меньше и он над каким-то кольцом с разными корнями, и нам известно классы эквивалентных корней для разложения. То есть:

$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\dots(x-x_n)=P_n(x),\; x \in \mathbf{R}, n \in \mathbb{N}$

$x_1 \in \left\lbrace a_{11}, a_{21}, \dots a_{1k_1}\right\rbrace, x_2 \in \left\lbrace a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2k_2}\right\rbrace, \dots, x_n \in \left\lbrace a_{n1}, \dots, a_{nk_n}\right\rbrace$

$k_{i} \in \mathbb{N},\; k_{i}\ne 1 \;\forall i$

И вот стало интерестно, можно ли (всегда) построить пример кольца где такой полином существует. Как раз, когда я задам каждое $k_i$. Если я ищу кольцо, то я не знаю конкретных $a_{ij}$.
Вот один из самых маленьких вариантов, которые мне попадались: $\;\;k_1=3,\; k_2=2,\;k_3=2$.
Вообще интерестно, насколько много корней может быть у полинома $\;Q_n(x)\;$ над конечным кольцом. Можно ожидать бесконечного числа для бесконечных колец, так что это я не рассматриваю этот случай.
На пример, над гиперболическими комплексными числами($j^2=1$) корней максимум $n^2$, но есть теорема, что можно найти их все, если у этого же полинома над $\;\mathbb{C}\;$ есть только действительные корни. Тогда все остальные $a+bj$ корни можно получить на пересечениях прямых $y\displaystyle{\prime}=\pm x\displaystyle{\prime}$ сдвинутых в эти точки на действительной оси этой алгебры. Я обозначил относительно местного базиса, рисуете в каждом действ. корне такие "крестики". Несложно понять, что тогда число корней всегда квадрат целого числа.

Это могло бы так же помочь мне в моих изысканиях.. но что-то мне подсказывает, что полезность есть только в полиномах над полями.

Я бы мог показать пример, но не знаю, как подступится. Конечно, можно подбирать.. но не хочется.

[mihaild]

Не очень понятно - Вы хотите, чтобы каждый выбор $x_i$ приводил к одному и тому же полиному, или чтобы можно было при произвольном выборе одного из них выбрать остальные подходящим образом, или что-то еще?

[Nartu]

Да, я совсем забыл, я думал, что хватит только знать допустимые значения корней, и потом просто раскладывать по всем комбинациям/разложениям. Но это так не работает.
Разложения полинома используют не любые комбинации корней, как мне казалось. Однако, если кольцо некомутативно, то да, каждый множитель $(x-x_i)$ будет иметь свои допустимые значения $x_i$, они не перемешиваются. Тем не менее это не несёт информации о том, как раскладывать полином на множители. А именно это я и хотел указать.

Отвечая на вопросы:

mihaild в сообщении #1588745 писал(а):

чтобы можно было при произвольном выборе одного из них выбрать остальные подходящим образом

Вот это нет. Они неизвестны явно.

mihaild в сообщении #1588745 писал(а):

Вы хотите, чтобы каждый выбор $x_i$ приводил к одному и тому же полиному

А это ближе. Я хотел задать все формальные разложения по корням. Вот так, на пример:

$P_2(x)=(x-x_1)(x-x_2)=(x-x_3)(x-x_4)\qquad(1)$

Если задача искать кольцо, то они точно неизвестны. И достаточно ли информации для поиска примера? Ну или это бред.

Попробовал на алгебре сплит-комплексных чисел, и получил инсайд о непроизвольном разложении. Но там корни из разных разложений не пересекаются. Может быть, так будет всегда. Это грустно.
В случае с квадратным полиномом $(x-2)(x-3)$, имею действ. корни 2, 3 и ещё два $\;\frac{1}{2}(5\pm j)$. Это как раз то, что выше написано в (1). Значит на сплит-комплексных такой есть. Они - решение.

Итого получается, что я фактически, задаю количество сопряжений. Но достаточно ли? Я не столь знаком с теорией полиномов. Сопряжения вроде как, касаются каких-то естественных автоморфизмов.
И тогда, получается: "найди кольцо с даным числом таких автоморфизмов"... Верно?
Может мне тут ещё подскажут что-то полезное. Просто разложить полином каждым способом и приравнять коэффициенты не дело, надо знать как, иначе что-то ещё.

Пока первый вопрос по пути - Возможен ли общий корень у двух разложений? Может над некоммутативными кольцами будет. Надо простой пример и при том, достаточно сложный.
Тогда и сечение разложений двуликое - либо любое совпадение типа: $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)$, либо по каждому множителю: $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_4)(x-x_2)(x-x_5)$, что кажется более логичным, хотя..

[mihaild]

Nartu в сообщении #1589210 писал(а):

Однако, если кольцо некомутативно, то да, каждый множитель $(x-x_i)$ будет иметь свои допустимые значения $x_i$, они не перемешиваются.

А это как повезет. Где-то могут и перемешиваться.

Nartu в сообщении #1589210 писал(а):

Если задача искать кольцо, то они точно неизвестны.

А что у Вас задано? Задавать корни, не указывая кольцо, бессмысленно (ну разве что корни заданы целыми числами).
Или что-то вроде "есть какие-то свойства множества разложений многочлена, существует ли кольцо и многочлен на нём с этими свойствами"? Тогда вопрос в том, какие свойства интересны.

[Nartu]

mihaild в сообщении #1589213 писал(а):

"есть какие-то свойства множества разложений многочлена, существует ли кольцо и многочлен на нём с этими свойствами"?

Вот это ближе. Только я ещё знаю степень и число корней. И ещё, если бы было возможно - разложения на множители, где можно подставлять корни со своих оддельных множеств... как в моём первом сообщении.

[mihaild]

"Число корней" - это свойство разложения (если полином раскладывается). Но Я всё еще не понял, что значит "подставлять корни с отдельных множеств".
В любом случае, очевидная идея - рассмотрите свободную алгебру, порожденную корнями, факторизуйте по отношению "для каждой степени коэффициенты при этой степени одинаковые во всех разложениях" и посмотрите, приведет это к тому, что какие-то корни отождествятся, или нет. Если приведет - то значит такой набор разложений сделать не получится, если нет - то вот у вас пример кольца.

[Mirage_Pick]

Nartu в сообщении #1589210 писал(а):

Пока первый вопрос по пути - Возможен ли общий корень у двух разложений?

Вы можете домножить свой пример на $x-x_3$

Nartu в сообщении #1589210 писал(а):

В случае с квадратным полиномом $(x-2)(x-3)$, имею действ. корни 2, 3 и ещё два $\;\frac{1}{2}(5\pm j)$.

Получите общий корень у двух разложений. По-другому получить общий корень трудно, если не невозможно.

-- 12.04.2023, 02:50 --

Nartu в сообщении #1589210 писал(а):

и ещё два $\;\frac{1}{2}(5\pm j)$.

По-моему, тут даже не два, а континуум разных пар можно подобрать, немного обобщив вашу конструкцию)

[Nartu]

Mirage_Pick в сообщении #1589310 писал(а):

По-моему, тут даже не два, а континуум разных пар можно подобрать, немного обобщив вашу конструкцию)

Это как? Я просто показал пример на сплит-комплексных числах. Не должно быть бесконечно корней. Вы немного попутали .. я там в двух местах одинаковые обозначения сделал но смысл разный.

mihaild в сообщении #1589304 писал(а):

Но Я всё еще не понял, что значит "подставлять корни с отдельных множеств".

Это значит "произвольные комбинации корней формируют разложения", я просто сгруппировал их ибо умножение могло быть и некоммутативно(и порядок важен). Собственно:

mihaild в сообщении #1589304 писал(а):

В любом случае, очевидная идея - рассмотрите свободную алгебру, порожденную корнями, факторизуйте по отношению "для каждой степени коэффициенты при этой степени одинаковые во всех разложениях" и посмотрите, приведет это к тому, что какие-то корни отождествятся, или нет. Если приведет - то значит такой набор разложений сделать не получится, если нет - то вот у вас пример кольца.

А вот это мне и подойдёт.. Я и сам думал в сторону поиска кольца, как какого-то расширения - разложить каждым способом, а потом приравнять и как-то достать правила умножения, но меня остановил пример на сплит-комплексных числах.
Может, если бы я знал о свободных алгебрах, то бы так и сделал. Видимо, мой мозг ещё не достаточно алгебраичен)

Может быть, можно просто посмотреть на полиномы низкой степени в каком-то плюс-минус каверзном кольце.. 2й или 3й степени если не будет громоздко. Я думал о групповых кольцах, взять некоммутативную группу и вперёд! Но первая такая группа - из 6 элементов.... это будет не просто.
Я слышал о "некомутативных полях"... мне друг сказал, что вывод решения квадратного уравнения там куда сложнее чем в обычных полях. Я чувствую, что некомут.поля лучше групповых колец, которые я себе надумал.
Как вы чувствуете - сложно будет или терпимо?

[mihaild]

Nartu в сообщении #1589467 писал(а):

произвольные комбинации корней формируют разложения

Произвольные не получится. Если $(x - a) P(x) = (x - b) P(x)$ как многочлены (а не просто как значения во всех точках), то $a = b$ для любого кольца.

Nartu в сообщении #1589467 писал(а):

Я слышал о "некомутативных полях"

Они называются телами.

Nartu в сообщении #1589467 писал(а):

мне друг сказал, что вывод решения квадратного уравнения там куда сложнее чем в обычных полях

Да, там уже ломается единственность разложения многочлена.

Вообще подозреваю что задача либо тривиальная, если её правильно сформулировать, либо очень сложная.

[Nartu]

mihaild в сообщении #1589476 писал(а):

Произвольные не получится.

Тем не менее, моя цель - задать все разложения в формальном виде и попытаться найти кольцо, в котором есть полином с такими разложениями. Каково оно будет? Каково оно может быть?
Ваша идея с алгеброй кажется хорошим путём. Но почему вы не предложили свободное кольцо? есть кое-что особенное?

mihaild в сообщении #1589476 писал(а):

Вообще подозреваю что задача либо тривиальная, если её правильно сформулировать, либо очень сложная.

Эх... звучит как "может быть как угодно".

[mihaild]

Свободное кольцо - это свободная алгебра над $\mathbb Z$. Но да, тут наверное другое базовое кольцо не понадобится.

А какое кольцо получится - сильно зависит от разложений (подозреваю что можно очень много разных колец так задать).

[Mirage_Pick]

Nartu в сообщении #1589467 писал(а):

Я слышал о "некомутативных полях"...

Но конечные тела необходимо являются (коммутативными) полями - теорема Веддербёрна. Бесконечные тела вы же не рассматриваете?

mihaild в сообщении #1589304 писал(а):

В любом случае, очевидная идея - рассмотрите свободную алгебру, порожденную корнями...

Вот это решает запрос ТС, имхо. Тривиально взять кольцо, порожденное корнями и даже не факторизовать. Произведения корней будут принадлежать кольцу просто по определению. Ну или я не понимаю задачи ТС.

Остался невыясненным вопрос, из какого кольца берем $x_i$? Если они целые числа, то кольцо целых $\mathbb Z$ подойдет. Ну или каждый принадлежит своему кольцу, тогда подойдет прямое произведение этих колец.

На данный момент задача видится филологической.

[Nartu]

Mirage_Pick в сообщении #1589488 писал(а):

Бесконечные тела вы же не рассматриваете?

Да, в принципе оказалось, что можно и такие.

Mirage_Pick в сообщении #1589488 писал(а):

Произведения корней будут принадлежать кольцу просто по определению. Ну или я не понимаю задачи ТС.

Надо равенства вырежений при раскрытии скобок.

Mirage_Pick в сообщении #1589488 писал(а):

Остался невыясненным вопрос, из какого кольца берем $x_i$?

не важно, главное что бы полином с задаными разложениями в нём(кольце) существовал.

Mirage_Pick в сообщении #1589488 писал(а):

Если они целые числа, то кольцо целых $\mathbb Z$ подойдет. Ну или каждый принадлежит своему кольцу, тогда подойдет прямое произведение этих колец.

Неужели вы думаете, что полином 2й степени над $\;\mathbb{Z}\;$ может иметь 4 и больше корней? С одной стороны там будут коэффициенты, что выражаются через линейные функции. Произведения разных чисел могут совпадать, да, но надо, что бы все коэффициенты совпали. Тогда получатся какие-то системы диофантовых уравнений. А если я задам разложения с какими-то от балды комбинациями корней, то целых чисел будет уже мало.

И так. Путь свободных алгебр.

Возьму квадратичный полином, 4 корня, 2 разложения $(x-x_1)(x-x_2)=(x-x_3)(x-x_4)$
Как задать алгебру? - $\mathbb{Z}\raisebox{1pt}{\(\left\langle x_1, x_2, x_3, x_4 \right\rangle\)}$
Полином тот же, значит коэффициенты при иксах равны, а для кольца мы должны сделать эквивалентны нулю их разности $\;(x_1+x_2-x_3-x_4)\sim0$, $\;(x_1x_2-x_3x_4)\sim0$.
И любые порождённые ими элементы должны быть тоже $\;\sim0$. Тогда они порождают идеалы: $\textstyle{<}x_1+x_2-x_3-x_4\textstyle{>}\;$ и $\;\textstyle{<}x_1x_2-x_3x_4\textstyle{>}$. Фактор можно по их объединению... но думаю, лучше породить один идеал их обеих и оно будет записываться так? :

$\dfrac{\mathbb{Z} \raisebox{1pt}{\(\left\langle x_1, x_2, x_3, x_4 \right\rangle\)}}{ < x_1+x_2-x_3-x_4\,, \;x_1x_2-x_3x_4 >}$

И больше я сделать ничего не могу. Теперь надо было бы искать кому оно изоморфно, или таблицу умножения. Но это явно максимальное кольцо, содержащее полином с нужным свойством. Может быть, надо ещё его "поклеить", что бы вышли сплит-комплексные числа. Как это сделать? Коммутативность дать.. а там идемпотенты есть..
Может быть можно усилить доп. соотношениями? Там был пример на сплит-комплексных числах, 2 корня сопряжены. Может получится достать свойства сопряжений из одних только разложений?