Задача на интегральный переход в неравенстве

[ohart]

Помогите пожалуйста решить или дайте легкую подсказку:
Нужно доказать, что $\int\limits_{0}^{1}\frac{1+x^{20}}{1+x^{40}}dx<1+\frac{1}{42}$
Первое, что приходит в голову, попытаться доказать, что подынтегральное выражение на отрезке от 0 до 1 меньше, чем $1+x^{20}/2$, и дальше проинтегрировать обе части. Но это не так. Какой-то стандартный трюк видимо есть, который не могу найти.

[mihiv]

$1+x^{20}=(1+x^{40})+(x^{20}-x^{40})$

[zykov]

Не знаю, что они имели ввиду.
Но если сделать так:

$$\frac{1+x^{20}}{1+x^{40}}-1=x^{20} \frac{1-x^{20}}{1+x^{40}}$$

И использовать что при $0 \leq y \leq 1$

$$\frac{1-y}{1+y^2} \leq 1-y$$

То получается

$$\int_0^1 \left(\frac{1+x^{20}}{1+x^{40}}-1\right)dx < \int_0^1 x^{20} (1-x^{20})dx = \frac{20}{861} < \frac{1}{42}$$

[ohart]

Всем большое спасибо! Разобрался