Линейный оператор, коммутирующий с любым другим

[bubu gaga]

Дано конечномерное линейное пространство $V$ и множество линейных операторов на нём $\mathcal{L}(V)$. Доказать, что если дан оператор $T \in \mathcal{L}(V)$ такой, что для любого оператора $S \in \mathcal{L}(V)$ верно $TS = ST$, то $T$ - это скаляр помноженный на тождественное отображение.

Чего-то никак не соображу с чего начать. Подтолкните, будьте добры. Спасибо!

[Brukvalub]

Я бы перешел к матрицам операторов в базисе и доказал, что единственной квадратной матрицей, коммутирующей со всеми матрицами, является скалярная матрица (это - известный факт из теории матриц).

[mkot]

Смотрите, например, Мальцев, Основы линейной алгебры, стр. 192.


Основной идеей является то, что нужно посмотреть что происходит если матрица преобразования
$S$ (в некотором базисе) имеет вид: $1$ на месте $(p, q)$, в остальных местах 0.

[bubu gaga]

Понятно. Спасибо!

[ewert]

я вот совершенно не помнил, как это доказывается. Но есть такая замечательная книжка Воеводина и Кузнецова "Матрицы и вычисления". Замечательная тем, что это очень короткий вроде как бы справочник. Однако утверждения там скомпонованы так, что в подавляющем большинстве случаев каждое из них либо элементарно само по себе, либо элементарно следует из предыдущих.

Так вот, под номером 3.49 там числится такое принципиальное утверждение:

"Если квадратная матрица $A$ перестановочна с квадратной диагональной матрицей $D$, имеющей попарно различные диагональные элементы, то матрица $A$ -- диагональная."

(Ну а строчкой ниже под номером 3.50 идёт ровно то утверждение, о котором речь.)