2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Линейный оператор, коммутирующий с любым другим
Сообщение16.11.2008, 20:03 
Аватара пользователя
Дано конечномерное линейное пространство $V$ и множество линейных операторов на нём $\mathcal{L}(V)$. Доказать, что если дан оператор $T \in \mathcal{L}(V)$ такой, что для любого оператора $S \in \mathcal{L}(V)$ верно $TS = ST$, то $T$ - это скаляр помноженный на тождественное отображение.

Чего-то никак не соображу с чего начать. Подтолкните, будьте добры. Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение16.11.2008, 20:24 
Аватара пользователя
Я бы перешел к матрицам операторов в базисе и доказал, что единственной квадратной матрицей, коммутирующей со всеми матрицами, является скалярная матрица (это - известный факт из теории матриц).

 
 
 
 
Сообщение16.11.2008, 20:29 
Аватара пользователя
Смотрите, например, Мальцев, Основы линейной алгебры, стр. 192.


Основной идеей является то, что нужно посмотреть что происходит если матрица преобразования
$S$ (в некотором базисе) имеет вид: $1$ на месте $(p, q)$, в остальных местах 0.

 
 
 
 
Сообщение16.11.2008, 20:45 
Аватара пользователя
Понятно. Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение16.11.2008, 20:52 
я вот совершенно не помнил, как это доказывается. Но есть такая замечательная книжка Воеводина и Кузнецова "Матрицы и вычисления". Замечательная тем, что это очень короткий вроде как бы справочник. Однако утверждения там скомпонованы так, что в подавляющем большинстве случаев каждое из них либо элементарно само по себе, либо элементарно следует из предыдущих.

Так вот, под номером 3.49 там числится такое принципиальное утверждение:

"Если квадратная матрица $A$ перестановочна с квадратной диагональной матрицей $D$, имеющей попарно различные диагональные элементы, то матрица $A$ -- диагональная."

(Ну а строчкой ниже под номером 3.50 идёт ровно то утверждение, о котором речь.)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group