2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразование диффура для численного решения
Сообщение09.04.2023, 00:22 


04/03/23
12
Здравствуйте! Возможно, глупый вопрос, но я получаю ошибки, поэтому все же уточню. Решая физическую задачу, был получен следующий диффур, который необходимо решить численно.(Хочу получить график a(t))
$a(t)=C+\beta v(t)-\tau\dot{a}(t)$, где $C,\beta,\tau=$ const
Если произвести преобразование заменой $\dot{v}(t)=a(t)$?
Тогда из изначального уравнения $v(t)=\frac{1}{\beta}(a(t)-C+\tau\dot{a}(t))$
$\dot{v}(t)=\frac{1}{\beta}(\dot{a}(t)+\tau\ddot{a}(t))=a(t) \Rightarrow  \dot{a}(t)+\tau\ddot{a}(t)=\beta a(t) $
Насколько все это справедливо? Если нет, то что можно сделать, чтобы численно решить изначальный диффур относительно $a(t)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение09.04.2023, 00:48 
Заслуженный участник


20/04/10
1867
Видимо речь об одномерном движении, и $v,a$ у Вас функции проекции скорости и ускорения? Тогда финальное уравнение получается дифференцированием по времени исходного. Оно прекрасно решается без использования численных методов. Или задача обязательно численно? Если всё же численно, а не просто найти общее решение, то неплохо было бы задать начальные условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение09.04.2023, 01:06 


04/03/23
12
lel0lel в сообщении #1588896 писал(а):
Видимо речь об одномерном движении, и $v,a$ у Вас функции проекции скорости и ускорения? Тогда финальное уравнение получается дифференцированием по времени исходного. Оно прекрасно решается без использования численных методов. Или задача обязательно численно? Если всё же численно, а не просто найти общее решение, то неплохо было бы задать начальные условия.


Да, надо численно решить. Разумеется, без начальных условий никуда. Интересует лишь вопрос o справедливости такого преобразования. Единственный и верный ли это способ найти решение a(t)

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение09.04.2023, 01:37 
Заслуженный участник


20/04/10
1867
AlexFuser в сообщении #1588900 писал(а):
Единственный и верный ли это способ найти решение a(t)

Верный, конечно. Если хочется, то можно диффур выписать для проекции скорости и решить его, затем найти ускорение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение09.04.2023, 02:07 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
AlexFuser
Это опять про радиационное трение?
Там экспоненциальная расходимость решения.
Как не строй вычислительную схему, от расходимости самого решения не избавится.

Считать конечно можно, но недолго - пока время мало по сравнению с характерным временем экспоненты.
Дальше, любая начальная ошибка (в начальных условия, в вычислениях) будет расти экспоненциально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение09.04.2023, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва

(Оффтоп)

Перенесите х в правую часть, подробности письмом!
(телеграмма некоего ферматиста в университет)

А перенести производную в левую часть (а саму искомую функцию в правую), поделив на тау, нельзя?
$a'=A+Bv(t)-a/\tau$
И выписать аналитическое решение, оставив численные методы для подгонки параметров по данным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение09.04.2023, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
AlexFuser
Это уравнение явно по мотивам радиационного трения, но смущают два момента.
1) Член $\beta v(t)$ — магнитная часть силы Лоренца? Если так, уравнение следует считать векторным, ведь эта сила перпендикулярна скорости. Но величина $\beta$ мало похожа на матрицу.
Если же уравнение считать одномерным, этот член будет влиять на скорость совсем иначе: при $\beta<0$ тормозить частицу (как вязкое трение), а при $\beta>0$ разгонять частицу в направлении движения. По-моему, это не то, чего Вы ожидаете.
На вопрос lel0lel об одномерности Вы не ответили.
2) Член $-\tau\dot{a}(t)$ будет действовать как радиационное трение при $\tau<0$. Почему такой странный выбор знака?
Внесите, пожалуйста, ясность.

Но, допустим, уравнение векторное и $\tau<0$ (либо вместо минуса там плюс).
Для правильного решения уравнения необходимо точно задать начальные условия (в т.ч. начальное ускорение). Критерий корректности начальных условий — то, что решение ограничено, а не растёт экспоненциально при $t\to\infty$. Но для численного решения самых точных начальных условий недостаточно, потому что, как уже сказал zykov, решение неустойчиво. При малейшей неточности оно сорвётся в нефизичный runaway. Причина этого не в тех или иных численных методах, а в самом уравнении.
Вы обратили внимание на мои комментарии в той теме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение10.04.2023, 10:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
И всё-таки, в порядке общего развития, позвольте осведомиться - зачем именно численное решение? Тут вроде как аналитическое несложное...

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение24.04.2023, 22:19 


04/03/23
12
svv в сообщении #1589024 писал(а):
AlexFuser
Это уравнение явно по мотивам радиационного трения, но смущают два момента.
1) Член $\beta v(t)$ — магнитная часть силы Лоренца? Если так, уравнение следует считать векторным, ведь эта сила перпендикулярна скорости. Но величина $\beta$ мало похожа на матрицу.
Если же уравнение считать одномерным, этот член будет влиять на скорость совсем иначе: при $\beta<0$ тормозить частицу (как вязкое трение), а при $\beta>0$ разгонять частицу в направлении движения. По-моему, это не то, чего Вы ожидаете.
На вопрос lel0lel об одномерности Вы не ответили.
2) Член $-\tau\dot{a}(t)$ будет действовать как радиационное трение при $\tau<0$. Почему такой странный выбор знака?
Внесите, пожалуйста, ясность.

Но, допустим, уравнение векторное и $\tau<0$ (либо вместо минуса там плюс).
Для правильного решения уравнения необходимо точно задать начальные условия (в т.ч. начальное ускорение). Критерий корректности начальных условий — то, что решение ограничено, а не растёт экспоненциально при $t\to\infty$. Но для численного решения самых точных начальных условий недостаточно, потому что, как уже сказал zykov, решение неустойчиво. При малейшей неточности оно сорвётся в нефизичный runaway. Причина этого не в тех или иных численных методах, а в самом уравнении.
Вы обратили внимание на мои комментарии в той теме?


Прошу прощения, совсем забыл об этой теме! Да, это уравнение по мотивам радиационного трения. Также прошу прощения за неудачную попытку переобозначить константы в уравнении.
1)Всё так, член $\beta v(t)$ - магнитная часть силы Лоренца и константа $\beta$, являющаяся индукцией магнитного поля, положительна.
2) Разумеется, сила радиационного трения $\tau\dot{a}(t)$ без какого-либо знака минус.
К сожалению, задание различных начальных условий не приводит к желаемому результату.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение25.04.2023, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
AlexFuser, спасибо за ответ.
Со знаком в радиационном трении понятно.
А вот с магнитной частью силы Лоренца — я по-прежнему думаю, что её нельзя адекватно моделировать в одномерном варианте. Можно считать, что частица движется в плоскости $xOy$, перпендикулярной вектору $\mathbf B=\mathbf e_z B$, тогда (в отсутствие других сил)
$\dot v_x=+\frac{qB}{mc}v_y$
$\dot v_y=-\frac{qB}{mc}v_x$
Из этих уравнений легко вывести, что
$\frac{d}{dt}(v_x^2+v_y^2)=0$
Это физически понятно. А одномерное уравнение $\dot v=\beta v$ даст совсем другую картину, при $\beta<0$ торможение, при $\beta>0$ разгон.

AlexFuser в сообщении #1590984 писал(а):
К сожалению, задание различных начальных условий не приводит к желаемому результату.
Я уже говорил, что даже при самом точном задании начальных условий решение будет неустойчивым. Причина не в выбранном численном методе, а в члене, отвечающем за радиационное трение. Я вижу два варианта: аналитическое решение (точно проходит по крайней мере в случае однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости движения) и решение "назад во времени". См. эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение05.05.2023, 22:41 


04/03/23
12
svv в сообщении #1591026 писал(а):
AlexFuser, спасибо за ответ.
Со знаком в радиационном трении понятно.
А вот с магнитной частью силы Лоренца — я по-прежнему думаю, что её нельзя адекватно моделировать в одномерном варианте. Можно считать, что частица движется в плоскости $xOy$, перпендикулярной вектору $\mathbf B=\mathbf e_z B$, тогда (в отсутствие других сил)
$\dot v_x=+\frac{qB}{mc}v_y$
$\dot v_y=-\frac{qB}{mc}v_x$
Из этих уравнений легко вывести, что
$\frac{d}{dt}(v_x^2+v_y^2)=0$
Это физически понятно. А одномерное уравнение $\dot v=\beta v$ даст совсем другую картину, при $\beta<0$ торможение, при $\beta>0$ разгон.

AlexFuser в сообщении #1590984 писал(а):
К сожалению, задание различных начальных условий не приводит к желаемому результату.
Я уже говорил, что даже при самом точном задании начальных условий решение будет неустойчивым. Причина не в выбранном численном методе, а в члене, отвечающем за радиационное трение. Я вижу два варианта: аналитическое решение (точно проходит по крайней мере в случае однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости движения) и решение "назад во времени". См. эту тему.


Здравствуйте! Отбросил рассмотрение одномерной задачи и перешел к плоскости XY. Теоретически кажется, что траекторией заряженной частицы в однородном магнитном поле будет затухающая спираль. Однако, что численное, что аналитическое решения дают один и тот же противоречивый теории результат - спираль, но не затухающую, а с увеличивающимся радиусом. :cry: Это и есть в данном случае неустойчивость? А про решение "назад во времени" не очень понял, никогда ничего подобного не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение06.05.2023, 02:55 
Заслуженный участник


29/09/14
1239
AlexFuser в сообщении #1592698 писал(а):
Однако, что численное, что аналитическое решения дают один и тот же противоречивый теории результат - спираль, но не затухающую, а с увеличивающимся радиусом.
Нет, аналитическое решение даёт "затухающую спираль". И предложенный уважаемым svv метод численного решения счётом "назад во времени", т.е. счёт с отрицательным шагом по времени и с конечными условиями вместо начальных, даёт результат, соответствующий аналитическому решению (так у меня получалось в Маткаде, численный счёт я вёл методом Рунге--Кутта 4-го порядка. Было увлекательно, т.к. о методе "назад во времени" я тоже ничего не слышал, до очень интересного рассказа svv здесь ).

Если требуется, могу попробовать в той теме про радиационное трение написать отчёт о своих вроде бы удачных попытках аналитического решения и численного счёта методом svv. (Правда, я не спец в расчётах; так что, воспринял бы с интересом и критику этого своего ученического упражнения, если она будет :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение06.05.2023, 09:16 


04/03/23
12
Cos(x-pi/2) в сообщении #1592716 писал(а):
AlexFuser в сообщении #1592698 писал(а):
Однако, что численное, что аналитическое решения дают один и тот же противоречивый теории результат - спираль, но не затухающую, а с увеличивающимся радиусом.
Нет, аналитическое решение даёт "затухающую спираль". И предложенный уважаемым svv метод численного решения счётом "назад во времени", т.е. счёт с отрицательным шагом по времени и с конечными условиями вместо начальных, даёт результат, соответствующий аналитическому решению (так у меня получалось в Маткаде, численный счёт я вёл методом Рунге--Кутта 4-го порядка. Было увлекательно, т.к. о методе "назад во времени" я тоже ничего не слышал, до очень интересного рассказа svv здесь ).

Если требуется, могу попробовать в той теме про радиационное трение написать отчёт о своих вроде бы удачных попытках аналитического решения и численного счёта методом svv. (Правда, я не спец в расчётах; так что, воспринял бы с интересом и критику этого своего ученического упражнения, если она будет :)


Буду очень благодарен, если мы перейдем в другую тему и продолжим обсуждение

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование диффура для численного решения
Сообщение06.05.2023, 15:38 
Заслуженный участник


29/09/14
1239
AlexFuser, хорошо, напишу там подробности, когда подготовлю текст, формулы и графики. (Быстро у меня это не получается, пауза неизбежна.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group