Преобразование диффура для численного решения

[AlexFuser]

Здравствуйте! Возможно, глупый вопрос, но я получаю ошибки, поэтому все же уточню. Решая физическую задачу, был получен следующий диффур, который необходимо решить численно.(Хочу получить график a(t))
$a(t)=C+\beta v(t)-\tau\dot{a}(t)$, где $C,\beta,\tau=$ const
Если произвести преобразование заменой $\dot{v}(t)=a(t)$?
Тогда из изначального уравнения $v(t)=\frac{1}{\beta}(a(t)-C+\tau\dot{a}(t))$
$\dot{v}(t)=\frac{1}{\beta}(\dot{a}(t)+\tau\ddot{a}(t))=a(t) \Rightarrow \dot{a}(t)+\tau\ddot{a}(t)=\beta a(t) $
Насколько все это справедливо? Если нет, то что можно сделать, чтобы численно решить изначальный диффур относительно $a(t)$?

[lel0lel]

Видимо речь об одномерном движении, и $v,a$ у Вас функции проекции скорости и ускорения? Тогда финальное уравнение получается дифференцированием по времени исходного. Оно прекрасно решается без использования численных методов. Или задача обязательно численно? Если всё же численно, а не просто найти общее решение, то неплохо было бы задать начальные условия.

[AlexFuser]

lel0lel в сообщении #1588896 писал(а):

Видимо речь об одномерном движении, и $v,a$ у Вас функции проекции скорости и ускорения? Тогда финальное уравнение получается дифференцированием по времени исходного. Оно прекрасно решается без использования численных методов. Или задача обязательно численно? Если всё же численно, а не просто найти общее решение, то неплохо было бы задать начальные условия.

Да, надо численно решить. Разумеется, без начальных условий никуда. Интересует лишь вопрос o справедливости такого преобразования. Единственный и верный ли это способ найти решение a(t)

[lel0lel]

AlexFuser в сообщении #1588900 писал(а):

Единственный и верный ли это способ найти решение a(t)

Верный, конечно. Если хочется, то можно диффур выписать для проекции скорости и решить его, затем найти ускорение.

[zykov]

AlexFuser
Это опять про радиационное трение?
Там экспоненциальная расходимость решения.
Как не строй вычислительную схему, от расходимости самого решения не избавится.

Считать конечно можно, но недолго - пока время мало по сравнению с характерным временем экспоненты.
Дальше, любая начальная ошибка (в начальных условия, в вычислениях) будет расти экспоненциально.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Перенесите х в правую часть, подробности письмом!
(телеграмма некоего ферматиста в университет)

А перенести производную в левую часть (а саму искомую функцию в правую), поделив на тау, нельзя?
$a'=A+Bv(t)-a/\tau$
И выписать аналитическое решение, оставив численные методы для подгонки параметров по данным?

[svv]

AlexFuser
Это уравнение явно по мотивам радиационного трения, но смущают два момента.
1) Член $\beta v(t)$ — магнитная часть силы Лоренца? Если так, уравнение следует считать векторным, ведь эта сила перпендикулярна скорости. Но величина $\beta$ мало похожа на матрицу.
Если же уравнение считать одномерным, этот член будет влиять на скорость совсем иначе: при $\beta<0$ тормозить частицу (как вязкое трение), а при $\beta>0$ разгонять частицу в направлении движения. По-моему, это не то, чего Вы ожидаете.
На вопрос lel0lel об одномерности Вы не ответили.
2) Член $-\tau\dot{a}(t)$ будет действовать как радиационное трение при $\tau<0$. Почему такой странный выбор знака?
Внесите, пожалуйста, ясность.

Но, допустим, уравнение векторное и $\tau<0$ (либо вместо минуса там плюс).
Для правильного решения уравнения необходимо точно задать начальные условия (в т.ч. начальное ускорение). Критерий корректности начальных условий — то, что решение ограничено, а не растёт экспоненциально при $t\to\infty$. Но для численного решения самых точных начальных условий недостаточно, потому что, как уже сказал zykov, решение неустойчиво. При малейшей неточности оно сорвётся в нефизичный runaway. Причина этого не в тех или иных численных методах, а в самом уравнении.
Вы обратили внимание на мои комментарии в той теме?

[Евгений Машеров]

И всё-таки, в порядке общего развития, позвольте осведомиться - зачем именно численное решение? Тут вроде как аналитическое несложное...

[AlexFuser]

svv в сообщении #1589024 писал(а):

AlexFuser
Это уравнение явно по мотивам радиационного трения, но смущают два момента.
1) Член $\beta v(t)$ — магнитная часть силы Лоренца? Если так, уравнение следует считать векторным, ведь эта сила перпендикулярна скорости. Но величина $\beta$ мало похожа на матрицу.
Если же уравнение считать одномерным, этот член будет влиять на скорость совсем иначе: при $\beta<0$ тормозить частицу (как вязкое трение), а при $\beta>0$ разгонять частицу в направлении движения. По-моему, это не то, чего Вы ожидаете.
На вопрос lel0lel об одномерности Вы не ответили.
2) Член $-\tau\dot{a}(t)$ будет действовать как радиационное трение при $\tau<0$. Почему такой странный выбор знака?
Внесите, пожалуйста, ясность.

Но, допустим, уравнение векторное и $\tau<0$ (либо вместо минуса там плюс).
Для правильного решения уравнения необходимо точно задать начальные условия (в т.ч. начальное ускорение). Критерий корректности начальных условий — то, что решение ограничено, а не растёт экспоненциально при $t\to\infty$. Но для численного решения самых точных начальных условий недостаточно, потому что, как уже сказал zykov, решение неустойчиво. При малейшей неточности оно сорвётся в нефизичный runaway. Причина этого не в тех или иных численных методах, а в самом уравнении.
Вы обратили внимание на мои комментарии в той теме?

Прошу прощения, совсем забыл об этой теме! Да, это уравнение по мотивам радиационного трения. Также прошу прощения за неудачную попытку переобозначить константы в уравнении.
1)Всё так, член $\beta v(t)$ - магнитная часть силы Лоренца и константа $\beta$, являющаяся индукцией магнитного поля, положительна.
2) Разумеется, сила радиационного трения $\tau\dot{a}(t)$ без какого-либо знака минус.
К сожалению, задание различных начальных условий не приводит к желаемому результату.

[svv]

AlexFuser, спасибо за ответ.
Со знаком в радиационном трении понятно.
А вот с магнитной частью силы Лоренца — я по-прежнему думаю, что её нельзя адекватно моделировать в одномерном варианте. Можно считать, что частица движется в плоскости $xOy$, перпендикулярной вектору $\mathbf B=\mathbf e_z B$, тогда (в отсутствие других сил)
$\dot v_x=+\frac{qB}{mc}v_y$
$\dot v_y=-\frac{qB}{mc}v_x$
Из этих уравнений легко вывести, что
$\frac{d}{dt}(v_x^2+v_y^2)=0$
Это физически понятно. А одномерное уравнение $\dot v=\beta v$ даст совсем другую картину, при $\beta<0$ торможение, при $\beta>0$ разгон.

AlexFuser в сообщении #1590984 писал(а):

К сожалению, задание различных начальных условий не приводит к желаемому результату.

Я уже говорил, что даже при самом точном задании начальных условий решение будет неустойчивым. Причина не в выбранном численном методе, а в члене, отвечающем за радиационное трение. Я вижу два варианта: аналитическое решение (точно проходит по крайней мере в случае однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости движения) и решение "назад во времени". См. эту тему.

[AlexFuser]

svv в сообщении #1591026 писал(а):

AlexFuser, спасибо за ответ.
Со знаком в радиационном трении понятно.
А вот с магнитной частью силы Лоренца — я по-прежнему думаю, что её нельзя адекватно моделировать в одномерном варианте. Можно считать, что частица движется в плоскости $xOy$, перпендикулярной вектору $\mathbf B=\mathbf e_z B$, тогда (в отсутствие других сил)
$\dot v_x=+\frac{qB}{mc}v_y$
$\dot v_y=-\frac{qB}{mc}v_x$
Из этих уравнений легко вывести, что
$\frac{d}{dt}(v_x^2+v_y^2)=0$
Это физически понятно. А одномерное уравнение $\dot v=\beta v$ даст совсем другую картину, при $\beta<0$ торможение, при $\beta>0$ разгон.

AlexFuser в сообщении #1590984 писал(а):

К сожалению, задание различных начальных условий не приводит к желаемому результату.

Я уже говорил, что даже при самом точном задании начальных условий решение будет неустойчивым. Причина не в выбранном численном методе, а в члене, отвечающем за радиационное трение. Я вижу два варианта: аналитическое решение (точно проходит по крайней мере в случае однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости движения) и решение "назад во времени". См. эту тему.

Здравствуйте! Отбросил рассмотрение одномерной задачи и перешел к плоскости XY. Теоретически кажется, что траекторией заряженной частицы в однородном магнитном поле будет затухающая спираль. Однако, что численное, что аналитическое решения дают один и тот же противоречивый теории результат - спираль, но не затухающую, а с увеличивающимся радиусом. Это и есть в данном случае неустойчивость? А про решение "назад во времени" не очень понял, никогда ничего подобного не видел.

[Cos(x-pi/2)]

AlexFuser в сообщении #1592698 писал(а):

Однако, что численное, что аналитическое решения дают один и тот же противоречивый теории результат - спираль, но не затухающую, а с увеличивающимся радиусом.

Нет, аналитическое решение даёт "затухающую спираль". И предложенный уважаемым svv метод численного решения счётом "назад во времени", т.е. счёт с отрицательным шагом по времени и с конечными условиями вместо начальных, даёт результат, соответствующий аналитическому решению (так у меня получалось в Маткаде, численный счёт я вёл методом Рунге--Кутта 4-го порядка. Было увлекательно, т.к. о методе "назад во времени" я тоже ничего не слышал, до очень интересного рассказа svv здесь ).

Если требуется, могу попробовать в той теме про радиационное трение написать отчёт о своих вроде бы удачных попытках аналитического решения и численного счёта методом svv. (Правда, я не спец в расчётах; так что, воспринял бы с интересом и критику этого своего ученического упражнения, если она будет :)

[AlexFuser]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1592716 писал(а):

AlexFuser в сообщении #1592698 писал(а):

Однако, что численное, что аналитическое решения дают один и тот же противоречивый теории результат - спираль, но не затухающую, а с увеличивающимся радиусом.

Нет, аналитическое решение даёт "затухающую спираль". И предложенный уважаемым svv метод численного решения счётом "назад во времени", т.е. счёт с отрицательным шагом по времени и с конечными условиями вместо начальных, даёт результат, соответствующий аналитическому решению (так у меня получалось в Маткаде, численный счёт я вёл методом Рунге--Кутта 4-го порядка. Было увлекательно, т.к. о методе "назад во времени" я тоже ничего не слышал, до очень интересного рассказа svv здесь ).

Если требуется, могу попробовать в той теме про радиационное трение написать отчёт о своих вроде бы удачных попытках аналитического решения и численного счёта методом svv. (Правда, я не спец в расчётах; так что, воспринял бы с интересом и критику этого своего ученического упражнения, если она будет :)

Буду очень благодарен, если мы перейдем в другую тему и продолжим обсуждение

[Cos(x-pi/2)]

AlexFuser, хорошо, напишу там подробности, когда подготовлю текст, формулы и графики. (Быстро у меня это не получается, пауза неизбежна.)