Симметричность совместной плотности

[Sdy]

Ниже всюду $\rho_\zeta(x)$ означает совместную плотность случайного вектора $\zeta$, а $F_\zeta(t)$ означает его совместную функцию распределения.
Допустим, что я знаю только равенство $\rho_{(\xi, \eta)}(x,y) = \rho_{\xi | \eta}(x | y)\rho_\eta(y)$
Чтобы использовать равенство $\rho_{(\xi, \eta)}(x,y) = \rho_{\eta | \xi}(y | x)\rho_\xi(x)$, мне его нужно доказать.
Тогда я хотел доказать, что $\rho_{(\xi,\eta)}(x,y) = \rho_{(\eta, \xi)}(y,x)$.
Мне не пришло в голову ничего лучше следующих рассуждений.

Рассмотрим совместную функцию распределения вектора $(\xi, \eta)$ в точках $s,t$. Тогда, по определению совместной плотности, верно следующее равенство:
$F_{(\xi,\eta)}(s, t) = \mathbb{P}(\xi \leq s, \eta \leq t) = \int_{-\infty}^{t}\int_{-\infty}^{s}\rho_{(\xi, \eta)}(x,y)dxdy$.

Но с другой стороны, $F_{(\xi,\eta)}(s, t) = \mathbb{P}(\xi \leq s, \eta \leq t) = \mathbb{P}(\eta \leq t, \xi \leq s) = F_{(\eta, \xi)}(t, s)$.
Тогда опять же, по определению совместной плотности $\rho_{(\eta, \xi)}(y,x)$ имеем:
$F_{(\eta, \xi)}(t, s) = \mathbb{P}(\eta \leq t, \xi \leq s) = \int_{-\infty}^{s}\int_{-\infty}^{t}\rho_{(\eta, \xi)}(y, x)dydx$.

Но в силу того что $F_{(\eta, \xi)}(t, s) = F_{(\xi,\eta)}(s, t)$ мы получаем равенство
$\int_{-\infty}^{s}\int_{-\infty}^{t}\rho_{(\eta, \xi)}(y, x)dydx = \int_{-\infty}^{t}\int_{-\infty}^{s}\rho_{(\xi, \eta)}(x,y)dxdy$.
То есть у нас два интеграла совпадают на всей области интегрирования, которая у них одинаковая, но тогда из этого следует, что сами подынтегральные функции равны, $\rho_{(\eta, \xi)}(y, x) = \rho_{(\xi, \eta)}(x,y)$.

Что-то не так с этим доказательством?

[ipgmvq]

У нас есть функция $f$от $x$ и $y$ вида $\sin(x) + \cos(y)$.
Обозначим такую функцию как $f(x,y)$. Потом обозначим её как $f(y,x)$. А потом через интеграл постараемся доказать, что $f(x,y)=f(y,x)$?
Не совсем понятен предмет доказывания.

[Sdy]

ipgmvq в сообщении #1588634 писал(а):

У нас есть функция $f$от $x$ и $y$ вида $\sin(x) + \cos(y)$.

В каждом конкретном случае функций вида $f(x,y)$ мне представлялось это действительно очевидным. Но это же анализ, хочется иметь доказательство, не апеллирующее ни к какому конкретному виду функции.

[Евгений Машеров]

А требуемое не следует из определения условной плотности?
Что же до равенства $\rho_{(\xi,\eta)}(x,y) = \rho_{(\eta, \xi)}(y,x)$ - оно, вообще говоря, не выполняется (если, конечно, не понимать под ним тривиальное переобозначение).

[Sdy]

Евгений Машеров в сообщении #1588638 писал(а):

А требуемое не следует из определения условной плотности?

В тех лекциях, что я читал, условная плотность $\rho_{\xi | \eta}(x | y)$ вводилась как обозначение для выражения вида $\frac{\rho_{(\xi, \eta)}(x,y)}{\rho_\eta(y)}$. Geoffrey Grimmett в книге Probability and random processes на странице 117 (пятое издание) вроде бы также говорит, только он сначала вводит условную функцию распределения, а потом говорит, что то что там было под интегралом, назовём условной плотностью.

В соседней теме ShMaxG уже говорил мне, что это должно быть не определение, а свойство. Но я подумал, что в моём случае это всё равно должно выводиться.

Евгений Машеров в сообщении #1588638 писал(а):

Что же до равенства $\rho_{(\xi,\eta)}(x,y) = \rho_{(\eta, \xi)}(y,x)$ - оно, вообще говоря, не выполняется (если, конечно, не понимать под ним тривиальное переобозначение).

А в чём ошибка у меня в рассуждениях? Я не смог пока её обнаружить.

[Евгений Машеров]

Ну вот условная плотность от икса по игрекам так же вводится. И имеет желаемое свойство по определению.
А там не то, чтобы ошибка. Просто если мы всего лишь поменяли в обозначениях иксы и игреки и соответственно греков переставили - это тривиально и обсуждать нечего. А вот если заменить значение икса на игрек и наоборот - решительно нетривиально, жаль, неверно.

[Sdy]

Евгений Машеров в сообщении #1588648 писал(а):

Просто если мы всего лишь поменяли в обозначениях иксы и игреки и соответственно греков переставили - это тривиально и обсуждать нечего.

Ну да, получается что я это и доказываю. Я не придумал более простого доказательства, которое при этом было бы строго.

-- 07.04.2023, 18:54 --

Евгений Машеров в сообщении #1588648 писал(а):

Ну вот условная плотность от икса по игрекам так же вводится. И имеет желаемое свойство по определению.

$\rho_{\xi | \eta}(x | y) = \frac{\rho_{(\xi, \eta)}(x,y)}{\rho_\eta(y)}$,
$\rho_{\eta| \xi}(y | x) = \frac{\rho_{(\eta, \xi)}(y,x)}{\rho_\xi(x)}$.
И тут нужно уметь доказывать $\rho_{(\xi, \eta)}(x,y) = \rho_{(\eta, \xi)}(y,x)$, чтобы написать, что $\rho_{(\xi, \eta)}(x,y) = \rho_{\eta| \xi}(y | x)\rho_\xi(x)$.
Нет?

[Евгений Машеров]

Лично мне видится простая замена обозначений. Которую можно оговорить, но надо ли доказывать?

[ShMaxG]

Sdy в сообщении #1588630 писал(а):

Тогда я хотел доказать, что $\rho_{(\xi,\eta)}(x,y) = \rho_{(\eta, \xi)}(y,x)$.

Мало того, что это правда, это еще и название имеет -- условие согласованности: функции совестного распределения связаны между собой. Например, при перестановке компонент случайного вектора аргументы функции тоже надо переставлять: $F_{\xi,\eta}(x,y)=F_{\eta,\xi}(y,x)$ и это распространяется на произвольные перестановки компонент векторов, а следует это просто из того, что $A\cap B=B\cap A$. Конечно это свойство распространяется и на плотности, и на мой взгляд, в Вашем посте верно это доказано.

Только не надо называть это симметричностью. Симметричность состояла бы в $\rho_{\xi,\eta}(x,y)=\rho_{\xi,\eta}(y,x)$, что конечно может быть неверно.

[Sdy]

ShMaxG в сообщении #1588663 писал(а):

Конечно это свойство распространяется и на плотности, и на мой взгляд, в Вашем посте верно это доказано.

Спасибо за проверку!

ShMaxG в сообщении #1588663 писал(а):

Только не надо называть это симметричностью.

Да, я помню, что в анализе под симметричностью несколько другую вещь понимают, не придумал просто как ёмко это соотношение охарактеризовать, теперь буду знать. Спасибо.