Но вот по приведенной ссылке автор говорит о том что уравнения выше может быть преобразовано к ( я переписал коэффициенты, чтобы смотрелось консистентно с первый уравнением) И это уравнение я встретил так же много в каких работах.
![$ \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\rho (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}{\frac {1}{c}}{ ((J (\mathbf {r} ',t_{r})}n)n + (J\times n)\times n)+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}({\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t} \times n)\times n}\right]dV $ $ \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\rho (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}{\frac {1}{c}}{ ((J (\mathbf {r} ',t_{r})}n)n + (J\times n)\times n)+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}({\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t} \times n)\times n}\right]dV $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/5/4359291db55922045d73135f8432c29982.png)
Да, могу подтвердить, сам проделал вывод, и у меня получилось то же самое. Только надо исправить опечатку. Во втором слагаемом в скобках уже стоит векторная величина, поэтому перед скобками должен быть не вектор

, а скаляр

.
вихревой ток вокруг витка с переменным током
Не понял это выражение, наверное, имелось в виду «вихревое электрическое поле вокруг витка с переменным током».
Если раньше вихревой ток вокруг витка с переменным током получался как по учебнику, то теперь он обнулился, благодаря двойному векторному произведению в последнем слагаемом.
Непонятно, как двойное векторное произведение могло обнулить электрическое поле. Для произвольного вектора

и единичного вектора

конструкция

даёт составляющую вектора

, перпендикулярную

. Нечто аналогичное можно увидеть в формуле (67.6) в Теории поля Ландау и Лифшица (электрическое поле дипольного излучения в дальней зоне).
А именно я не смог разобраться со следующим уравнением

Опять сначала исправим опечатку, в левой части пропущено

.
Собственно, надо сделать две вещи:
1) Пользуясь уравнением непрерывности, заменить

на

.
2) Применив интегральную теорему, избавиться от дивергенции.
Но есть один хитрый момент.
Для простоты считаем, что нас интересует поле в начале координат (

) и в нулевой момент времени (

), чего всегда можно добиться сдвигами начала отсчёта. Теперь у нас есть зависимость только от штрихованных координат

. Более того, все величины, связанные с источниками, берутся в момент

. Последнее уравнение задаёт в четырёхмерном пространстве-времени трёхмерную гиперповерхность, которая в ТО называется «световой конус прошлого», с вершиной в 4-точке наблюдения.
Станем в некоторую точку

этого конуса и попробуем взять от какой-либо полевой величины

частную производную, например, по координате

. Есть две альтернативы:
1) Пошевелить

, не меняя

, тогда это будет обычная частная производная

. При таком шевелении мы уйдём со светового конуса. Поскольку интегрирование производится по световому конусу, такая производная под интегралом не позволит непосредственно применить интегральную теорему.
2) Пошевелить

, не меняя

, но меняя также и

так, чтобы всё время оставаться на световом конусе. Такую частную производную обозначим как-то иначе, например

. Она связана с обычной соотношением

,
где

понимается как

Отсюда

Аналогично надо различать "конусную" и обычную дивергенции. Из предыдущей формулы получается связь между ними:

, то есть

В уравнение непрерывности входит, естественно, обычная дивергенция (ничего не знающая о световом конусе), а для применения интегральной теоремы необходима конусная, так как интегрирование по конусу

, а не по гиперплоскости

.
Применяем всё это ко второму слагаемому формулы (4):

Получили формулу (12).
-- Ср апр 05, 2023 03:57:17 --Второй вопрос, могули я рассматривать исходное уравнение Ефименко для случая переменного тока через конденсатор, где во втором слагаемом будет меняющаяся плотность заряда тока на обкладках.
Можете, но:
1) Как формула Ефименко (4) для электрического поля, так и формула Панофски и Филлипса (6) выведены для зарядов и токов в вакууме. Возможно, существует какое-то обобщение, я не встречал. Поскольку среда — это, в конечном счёте, тоже заряды и токи в вакууме, то формулы можно применить, но тогда надо брать полные плотности заряда и тока, в том числе, обусловленные поляризацией.
2) В доказательстве эквивалентности (4) и (6) использовано уравнение непрерывности. Это означает, что для того, чтобы получить из (4) и (6) один и тот же результат, надо обеспечить, чтобы заданные источники строго удовлетворяли уравнению непрерывности.
Некоторая неясность с током смещения в диэлектрике, интегрировать ли по объему диэлектрика ток?
Нет, ток смещения интегрировать не нужно.