Численный расчет полей в точке, вопрос по формуле.

[Alex2000]

Решаю задачу расчета полей в точке на GPU. По фолмулам:https://en.wikipedia.org/wiki/Jefimenko%27s_equations
До тех пор пока я рассматривал разные ситуации с магнитными полями, вихревым электрическим полем и стационарным электрическое полем, результаты расчетов совпадали с теорией. Но возникло несколько вопросов о электрическом поле, почитав литературу , а именно http://kirkmcd.princeton.edu/examples/jefimenko.pdf возник вопрос по математике.
Остановимся на выражении для электрического поля исходно имеем:
$ \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\rho (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]dV $
Второе слагаемое обратно пропорционально расстоянию и скорости света и пропорционально скорости изменения заряда. В целом тоже самое слагаемое присутствует в выражении для диполя герца ( его численной симуляцией я и занимался).
Но вот по приведенной ссылке автор говорит о том что уравнения выше может быть преобразовано к ( я переписал коэффициенты, чтобы смотрелось консистентно с первый уравнением) И это уравнение я встретил так же много в каких работах.

$ \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\rho (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}{\frac {1}{c}}{ ((J (\mathbf {r} ',t_{r})}n)n + (J\times n)\times n)+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}({\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t} \times n)\times n}\right]dV $
Где n - единичный вектор от источника в точку наблюдения.
Если раньше вихревой ток вокруг витка с переменным током получался как по учебнику, то теперь он обнулился, благодаря двойному векторному произведению в последнем слагаемом. В работе он рассматривает вывод. А именно я не смог разобраться со следующим уравнением
${\frac {1}{c}}\int{{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}n} = -{\frac {1}{c}}\int \frac {(\nabla 'J)n}{R}+ {\frac {1}{c^2}} \int {\frac {1}{R} (\frac {\partial {J}}{\partial t}n)n}$

Автор сам пишет, что последнее слагаемое в этом уравнении направлено противоположно последнему слагаемому в исходном уравнении. К первому слагаемому у меня вопросов не возникло, автор расписывает их далее, но вот радиационная составляющая уже все ломает...

Второй вопрос, могули я рассматривать исходное уравнение Ефименко для случая переменного тока через конденсатор, где во втором слагаемом будет меняющаяся плотность заряда тока на обкладках. Некоторая неясность с током смещения в диэлектрике, интегрировать ли по объему диэлектрика ток? Или нужно как то иначе?

[svv]

Alex2000 в сообщении #1588218 писал(а):

Но вот по приведенной ссылке автор говорит о том что уравнения выше может быть преобразовано к ( я переписал коэффициенты, чтобы смотрелось консистентно с первый уравнением) И это уравнение я встретил так же много в каких работах.
$ \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\rho (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}{\frac {1}{c}}{ ((J (\mathbf {r} ',t_{r})}n)n + (J\times n)\times n)+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}({\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t} \times n)\times n}\right]dV $

Да, могу подтвердить, сам проделал вывод, и у меня получилось то же самое. Только надо исправить опечатку. Во втором слагаемом в скобках уже стоит векторная величина, поэтому перед скобками должен быть не вектор $\frac {\mathbf r -\mathbf r '}{|\mathbf r -\mathbf r'|^3}$, а скаляр $\frac 1{|\mathbf r -\mathbf r'|^2}$.

Alex2000 в сообщении #1588218 писал(а):

вихревой ток вокруг витка с переменным током

Не понял это выражение, наверное, имелось в виду «вихревое электрическое поле вокруг витка с переменным током».

Alex2000 в сообщении #1588218 писал(а):

Если раньше вихревой ток вокруг витка с переменным током получался как по учебнику, то теперь он обнулился, благодаря двойному векторному произведению в последнем слагаемом.

Непонятно, как двойное векторное произведение могло обнулить электрическое поле. Для произвольного вектора $\mathbf a$ и единичного вектора $\mathbf n$ конструкция $-(\mathbf a\times\mathbf n)\times\mathbf n$ даёт составляющую вектора $\mathbf a$, перпендикулярную $\mathbf n$. Нечто аналогичное можно увидеть в формуле (67.6) в Теории поля Ландау и Лифшица (электрическое поле дипольного излучения в дальней зоне).

Alex2000 в сообщении #1588218 писал(а):

А именно я не смог разобраться со следующим уравнением
${\frac {1}{c}}\int{{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}n} = -{\frac {1}{c}}\int \frac {(\nabla 'J)n}{R}+ {\frac {1}{c^2}} \int {\frac {1}{R} (\frac {\partial {J}}{\partial t}n)n}$

Опять сначала исправим опечатку, в левой части пропущено $\frac 1 R$.

Собственно, надо сделать две вещи:
1) Пользуясь уравнением непрерывности, заменить $\dot\rho$ на $-\operatorname{div}\mathbf J$.
2) Применив интегральную теорему, избавиться от дивергенции.
Но есть один хитрый момент.
Для простоты считаем, что нас интересует поле в начале координат ($\mathbf r=0$) и в нулевой момент времени ($t=0$), чего всегда можно добиться сдвигами начала отсчёта. Теперь у нас есть зависимость только от штрихованных координат $\mathbf r', t'$. Более того, все величины, связанные с источниками, берутся в момент $t'=-\frac{|\mathbf r'|}{c}$. Последнее уравнение задаёт в четырёхмерном пространстве-времени трёхмерную гиперповерхность, которая в ТО называется «световой конус прошлого», с вершиной в 4-точке наблюдения.

Станем в некоторую точку $(\mathbf r', t')$ этого конуса и попробуем взять от какой-либо полевой величины $f$ частную производную, например, по координате $x'_1$. Есть две альтернативы:
1) Пошевелить $x'_1$, не меняя $x'_2,x'_3,t'$, тогда это будет обычная частная производная $\frac{\partial f}{\partial x'_1}$. При таком шевелении мы уйдём со светового конуса. Поскольку интегрирование производится по световому конусу, такая производная под интегралом не позволит непосредственно применить интегральную теорему.
2) Пошевелить $x'_1$, не меняя $x'_2,x'_3$, но меняя также и $t'$ так, чтобы всё время оставаться на световом конусе. Такую частную производную обозначим как-то иначе, например $\frac{Df}{Dx'_1}$. Она связана с обычной соотношением
$\frac{Df}{Dx'_k}=\frac{\partial f}{\partial x'_k}+\frac{\partial f}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial x'_k}$,
где $\frac{\partial t'}{\partial x'_k}$ понимается как
$\frac{\partial}{\partial x'_k}(-\frac{|\mathbf r'|}{c})=-\frac 1 c\frac{x'_k}{|\mathbf r'|}=\frac 1 c n_k$
Отсюда
$\frac{Df}{Dx'_k}=\frac{\partial f}{\partial x'_k}+\frac 1 c\dot f n_k$

Аналогично надо различать "конусную" и обычную дивергенции. Из предыдущей формулы получается связь между ними:
$\frac{Da_k}{Dx'_k}=\frac{\partial a_k}{\partial x'_k}+\frac 1 c\dot a_k n_k$, то есть
$\operatorname{Div}\mathbf a=\operatorname{div}\mathbf a+\frac 1 c \dot{\mathbf a}\cdot \mathbf n$
В уравнение непрерывности входит, естественно, обычная дивергенция (ничего не знающая о световом конусе), а для применения интегральной теоремы необходима конусная, так как интегрирование по конусу $t'=-\frac{|\mathbf r'|}{c}$, а не по гиперплоскости $t'=\operatorname{const}$.

Применяем всё это ко второму слагаемому формулы (4):
$\frac 1 c \int \frac{\dot \rho\mathbf n}{R}dV=-\frac 1 c\int\frac{(\operatorname{div}\mathbf J) \mathbf n}{R}dV=-\frac 1 c\int\frac{(\operatorname{Div}\mathbf J) \mathbf n}{R}dV+\frac 1 {c^2}\int\frac{(\dot{\mathbf J}\cdot\mathbf n)\mathbf n}{R}dV$
Получили формулу (12).

-- Ср апр 05, 2023 03:57:17 --

Alex2000 в сообщении #1588218 писал(а):

Второй вопрос, могули я рассматривать исходное уравнение Ефименко для случая переменного тока через конденсатор, где во втором слагаемом будет меняющаяся плотность заряда тока на обкладках.

Можете, но:
1) Как формула Ефименко (4) для электрического поля, так и формула Панофски и Филлипса (6) выведены для зарядов и токов в вакууме. Возможно, существует какое-то обобщение, я не встречал. Поскольку среда — это, в конечном счёте, тоже заряды и токи в вакууме, то формулы можно применить, но тогда надо брать полные плотности заряда и тока, в том числе, обусловленные поляризацией.
2) В доказательстве эквивалентности (4) и (6) использовано уравнение непрерывности. Это означает, что для того, чтобы получить из (4) и (6) один и тот же результат, надо обеспечить, чтобы заданные источники строго удовлетворяли уравнению непрерывности.

Alex2000 в сообщении #1588218 писал(а):

Некоторая неясность с током смещения в диэлектрике, интегрировать ли по объему диэлектрика ток?

Нет, ток смещения интегрировать не нужно.

[Alex2000]

Спасибо большое за ответ и правки.

Цитата:

Непонятно, как двойное векторное произведение могло обнулить электрическое поле. Для произвольного вектора $\mathbf a$ и единичного вектора $\mathbf n$ конструкция $-(\mathbf a\times\mathbf n)\times\mathbf n$ даёт составляющую вектора $\mathbf a$, перпендикулярную $\mathbf n$. Нечто аналогичное можно увидеть в формуле (67.6) в Теории поля Ландау и Лифшица (электрическое поле дипольного излучения в дальней зоне).

Я имел ввиду следующее, допустим у нас по замкнутому проводнику течет переменный ток. Тогда в исходном уравнении остается
$ \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{{-\frac {1}{ {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}} }}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]dV $
А во втором случае:
$ \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}{\frac {1}{c}}{ ((J (\mathbf {r} ',t_{r})}n)n + (J\times n)\times n)+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}({\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t} \times n)\times n}\right]dV $

Проводник замкнут и, ожидаемо, слагаемое которое зависит только от плотности тока дает результирующее поле 0.
Но тогда получается, результат интегрирования первого уравнения должен совпадать с результатом от последнего слагаемого второго уравнения. Но на замкнутом контуре оно у меня тоже обнуляется.

А вот по остальному ответу, пока что изучаю, спасибо за ссылку на формулу у Ландау и Лифшица, нашел.

[svv]

Alex2000, добрый вечер.

Alex2000 в сообщении #1588428 писал(а):

Проводник замкнут и, ожидаемо, слагаемое которое зависит только от плотности тока дает результирующее поле 0.

Судя по Вашему ответу, Вы не учитываете, что вектор $\mathbf n=\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|}$, а также расстояние $R=|\mathbf r-\mathbf r'|$ зависят от $\mathbf r'$. Поэтому полной компенсации вкладов в поле от разных точек $\mathbf r'$ проводника не будет.
Ещё один фактор, мешающий полной компенсации (и часто даже более важный) — то, что ток в каждой точке проводника надо брать в свой запаздывающий момент $t'=t-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}$, который зависит от точки $\mathbf r'$. Из-за этого вклады разных точек $\mathbf r'$ в поле в точке $\mathbf r$ становятся несинфазными.

[Alex2000]

Добрый вечер! Спасибо, верно, исправляю.