задача по планиметрии (окружности, касательные)

[viktorkrug]

Не подскажите в решении задачи: Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке А. Прямая, проходящая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, а вторую - в точке С. Касательная к первой окружности, проходящая через точку В, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между В и Е). Известно, что АВ = 5 и АС = 4. Найти длину отрезка СЕ и ...,

при проведении касательной $O_2$ к первой окружности отрезок AC пересекается в точке P тогда $O_2P$ можно найти для случая $R \le (R+r)cos(a)$ (радиус первой окружности меньше суммы радиусов окружностей на косинус угла $BO_1A = CO_2A$) как $O_2P = (R+r)cos(a) -R$
Почему отрезок $O_2P$ находится таким выражением и далее при решении угол EPC равен $90^o $. Спасибо.

[Батороев]

viktorkrug писал(а):

Не подскажите в решении задачи: Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке А. Прямая, проходящая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, а вторую - в точке С. Касательная к первой окружности, проходящая через точку В, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между В и Е). Известно, что АВ = 5 и АС = 4. Найти длину отрезка СЕ и ...,

Т. $ E $ лежит в "хорошем" месте. Найдите это место и докажите.

[viktorkrug]

получается только касательная $O_2F^2 = 2Rr+r^2$

[Dimoniada]

CE = 6

[viktorkrug]

У меня есть ответ задачи, способ нахождения $O_2P$ не очень понятен.

[Dimoniada]

Я решала так: CE/4 = 9/CE .

[viktorkrug]

Спасибо за приведенные объяснения, я на трех форумах писал решение задачи, но такой не видел, значит все проще чем кажется. Значит решение можно вывести из подобия.

[viktorkrug]

Извините. Не подскажите как можно найти равенство углов AEC и CBE

[TOTAL]

Через точку $C$ проведите диаметр, он будет перпендикулярен $BE$.
Через т.$A$ проведите прямую параллельно $BE$.
Увидите, что дуга $AC$ равна разности дуг $CE$ и $AD$, что и означает требуемое равенство углов.

[viktorkrug]

А не подскажите почему $BE$ перпендикулярно $CO_2$ или диаметру через $C$, это свойство секущей косающихся окружнстей.

[Батороев]

А откуда Вы взяли эту задачу?
Я продумал над нею несколько дней, пока не пришел к простому выводу, что она не корректная.
Дело в том, что можно взять любые две окружности с соотношением диаметров $ 5:4 $ и через них провести прямую таким образом, чтобы $AB = 5 $ и $AC = 4 $.
В зависимости от выбираемых диаметров окружностей (с сохранением указанного соотношения) положение касательной будет меняться.
И то, что мы посчитали, что т. $E$ лежит на диаметре, так это оттого, что нам так захотелось.

[viktorkrug]

Извините у меня не получается еще одно решение, по задаче требуется найти радиус окружности для которого как мне кажется нужно найти, одну из сторон $AD, BD, или AE$ у меня получилось $\triangle ABD \sim \triangle CBE$ и $CD$ получилась тоже $6$ но сторону найти не удалось, не могли бы подсказать можно ли их найти?

[TOTAL]

viktorkrug писал(а):

А не подскажите почему $BE$ перпендикулярно $CO_2$ или диаметру через $C$, это свойство секущей косающихся окружнстей.

Потому, что по условию $BE$ перпендикулярно $BO_1$, а $BO_1$ параллельно $CO_2$,
т.к. равнобедренные треугольники $O_1BA$ и $O_2CA$ подобны.
Радиусы окружностей не найдете, т.к. это любые достаточно большие окружности с отношением радиусов $5:4$.

[viktorkrug]

Ой извините я перепутал оказывается не радиус а отрезок, тогда все не так сложно. Спасибо.