Вычислить интеграл с помощью вычетов

[Kevsh]

Необходимо вычислить интеграл с помощью вычетов:
$\int\limits_{|z+1|=4}\frac{zdz}{e^z+3}$
Изолированные особые точки у данной функции следующие (лежащие внутри данного контура): $z_0=\ln 3+\pi i$ и $z_1=\ln 3 -\pi i$. Они берутся из условия $e^z=-3$. Преподаватель (видеоурок) делает следующее: $f(z)=\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}$, где $\varphi(z_n)\neq 0$, $\psi (z_n)= 0$, $\psi '(z_n)\neq 0$. То есть $\varphi(z)=z$, а $\psi (z)=e^z+3$. При таком представлении вычет можно найти очень просто: $res f(z_n)=\frac{\varphi(z_n)}{\psi '(z_n)}$. У преподавателя всё сошлось с ответом, НО использовать этот метод расчёта можно только для полюсов первого порядка, разве не так? В данном случае это не полюс первого порядка, ведь если найти обратную функцию $\varphi(z)=\frac{1}{f(z)}$, то для неё $z_0$ и $z_1$ не будут являться нулями первого порядка: $\varphi'(z)=\frac{e^z}{3}$, $\varphi'(z_0)\neq 0$, $\varphi'(z_1)\neq 0$. Получается, что такое решение не будет верным?

[пианист]

Честно сказать, рассуждений не понял, так что извиняюсь, если я не про то, но: у $e^z$ нет нулей, соответственно, у $e^z + 3$ нули могут быть только 1 порядка.

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1587511 писал(а):

Честно сказать, рассуждений не понял,

Присоединяюсь.

Kevsh в сообщении #1587507 писал(а):

В данном случае это не полюс первого порядка, ведь если найти обратную функцию

Очень спорная аргументация. Ведь особая точка у нас не в нуле. И какой смысл тут у обратной функции? Рассмотрите простой пример. Возьмите функцию $f(z)=1 \slash (e^z-1)$ . И рассматриваем особую точку в нуле. Тут как-то явно просматривается полюс первого порядка. Для наглядности попробуйте сделать замену переменных так, чтобы особая точка оказалась в нуле.

[RIP]

Kevsh в сообщении #1587507 писал(а):

$\varphi'(z_0)\neq 0$, $\varphi'(z_1)\neq 0$

Это как раз и означает, что нули первого порядка. (Хотя производную Вы посчитали неверно.)

[Kevsh]

RIP
Действительно. Я почему-то решил, что первая производная должна быть равной нулю в точках $z_0$, $z_1$

[Combat Zone]

Kevsh
Должна быть. Но не та. Рассматривается отдельно числитель и знаменатель. Вы в качестве $\varphi$ рассматриваете ни то, ни другое. Чья производная - вообще трудно понять. Давайте еще раз.