Задача на теоремы о среднем

[hanik]

Задача из сборника задач Кудрявцева.

Даны функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что $f(x) - f(0) = xf'(g(x))$, $0 < g(x) < x$. Доказать, что если $f(x) = x \sin(\ln(x))$ при $x > 0$ и $f(0) = 0$, то функция $g(x)$ разрывна на любом интервале $(0;\varepsilon)$, $\varepsilon > 0$.

Из условия мне удалось вывести, что $f'(g(x)) = \sin (\ln x) = \sin (\ln (g(x))) + \cos (\ln (g(x)))$.

Далее, я пытался вывести противоречие из того, что для произвольного $\varepsilon > 0$ функция $g(x)$ непрерывна на интервале $(0;\varepsilon)$. Здесь я зашел в тупик.

Помогите завершить решение.
Заранее спасибо.

[Flood]

А если "в лоб"?

$\sin (\ln (g)) + \cos (\ln (g)) = (\sin(\pi/4)\cdot \sin (\ln (g)) +\cos(\pi/4)\cdot \cos (\ln (g)))\cdot\sqrt{2} $.
$\sin (\ln (g)) + \cos (\ln (g)) = \cos(\pi/4-\ln (g)) $.

Далее выражаем функцию $g(x)$ из предыдущих выражений. Потом доказываем, что она не является непрерывной. Надеюсь, ничего не напутал.

Подозреваю, есть и какой-нибудь более простой и изящный способ.

[Flood]

Да, все же напутал - во второй строке множитель потерял.

[hanik]

Получилось свести к такой функции: $g(x)=e^{\pi/4 - \arccos(\sin(\ln x) / \sqrt 2)}$

Но эта функции является непрерывной...

Есть ли еще подсказки? :)

[mihaild]

Она не непрерывная в нуле. $\ln x$ идет на (минус) бесконечность, синус его осциллирует, арккосинус от осциллирующей функции тоже осциллирует, экспонента тоже.
UPD: бред, см. ниже.

[Dan B-Yallay]

hanik в сообщении #1587305 писал(а):

разрывна на любом интервале $(0;\varepsilon)$

[hanik]

На сколько я понял, эта функция определена для любого $x \in (0, \varepsilon)$.

Значит нужно найти такую точку $x_0$, в которой либо функция не имеет предела, либо предел не равен $g(x_0)$.

Чем ближе аргумент к 0, тем чаще функция "колебается". Но сложность в том, что нам нужно найти $x_0 > 0$.

[RIP]

hanik в сообщении #1587568 писал(а):

Получилось свести к такой функции: $g(x)=e^{\pi/4 - \arccos(\sin(\ln x) / \sqrt 2)}$

Но эта функции является непрерывной...

Есть ли еще подсказки? :)

Эта функция не удовлетворяет условию $0<g(x)<x$ при малых $x$.

[mihaild]

hanik в сообщении #1587305 писал(а):

$f'(g(x)) = \sin (\ln x) = \sin (\ln (g(x))) + \cos (\ln (g(x)))$.

Если присмотреться, то этого уже достаточно.
Пусть $g(x)$ непрерывна на отрезке $(0, \varepsilon)$. Тогда она где-то на нём равна $\delta > 0$. Но $g\left(\frac{\detla}{\exp(2 \pi)}\right) < \frac{\detla}{\exp(2 \pi)}$, а раз $g$ непрерывна, то она пробегает весь отрезок $[\frac{\detla}{\exp(2 \pi)}, \delta]$, её логарифм, соответственно, отрезок $[\ln \delta - 2 \pi, \delta]$, где-то на этом отрезке есть число $2\pi k + \frac{\pi}{4}$, а при таком значении логарифма будет $\sin (\ln (g(x))) + \cos (\ln (g(x))) = \sqrt{2}$. Что никак не может быть равно $\sin(\ln x)$.

mihaild в сообщении #1587588 писал(а):

UPD: бред, см. ниже.

Всё же не бред, если $0 < g(x) < x$, то функция непрерывна в нуле. Т.е. если в сведении hanik получается, что если $g$ непрерывна, то она вот такая - это тоже доказательство.

[hanik]

mihaild, остался еще вопрос.

Я не совсем понимаю, почему эта функция непрерывна в нуле? Ведь мы даже не знаем, определена ли она для точки $0$. Также, она не имеет предела, когда $x$ стремится к нулю.

[mihaild]

hanik в сообщении #1587927 писал(а):

Также, она не имеет предела, когда $x$ стремится к нулю.

Вот как раз это не так. Если $0 < g(x) < x$, то $\lim\limits_{x \to 0+} g(x) = 0$. Ну и если доопределить нулем в нуле (а нас значение в нуле не интересует), то получится непрерывной.

-- 02.04.2023, 11:27 --

hanik в сообщении #1587927 писал(а):

Также, она не имеет предела, когда $x$ стремится к нулю.

Вот как раз это не так. Если $0 < g(x) < x$, то $\lim\limits_{x \to 0+} g(x) = 0$. Ну и если доопределить нулем в нуле (а нас значение в нуле не интересует), то получится непрерывной.

[Mirage_Pick]

hanik в сообщении #1587927 писал(а):

Ведь мы даже не знаем, определена ли она для точки $0$.

Это знать и не надо. Важно именно поведение в окрестности, а не значение в точке.

Задача не про теорему о среднем, а скорее тут теорема о промежуточном значении непр функции.

[hanik]

Всем большое спасибо за помощь.

[Flood]

mihaild

Скажите пожалуйста, а можно ли доказывать разрывность функции вблизи нуля данном случае следующими рассуждениями.
Рассмотрим односторонний предел функции
$\lim\limits_{x\to +0}{f(x)}=A$
По Гейне, это означает:
$\forall\epsilon>0\quad\forall\ x_n: \lim\limits_{n \to \infty}x_n=0, x_n>0,\quad \lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)=A$

Пусть $\ x_n=\exp(-\pi/2-2\pi\cdot n)$
$\lim\limits_{n \to \infty}x_n=0$
Тогда
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\exp\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\left(\ln\left(x_n\right)\right)\right)\right)}=\frac{1}{\exp\left(\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)}$
Пусть теперь $\ x_n=\exp(\pi/2-2\pi\cdot n)$
$\lim\limits_{n \to \infty}x_n=0$
Тогда

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\exp\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\left(\ln\left(x_n\right)\right)\right)\right)}=\frac{1}{\exp\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)}$

Т.е. предела справа вроде бы не существует.

[Flood]

Да, это мимо кассы, однако.