Теория чисел, mod (3)

[Martynov_M]

Постановка вопроса
В процессе доказательства гипотезы Коллатца столкнулся с вопросом, почему все ветки рекурсии заканчиваются $n \equiv 0 \pmod 3$ ?

Под веткой я понимаю любое нечетное число вида $n \equiv 1 \pmod 3$ или $n \equiv 2 \pmod 3$, и применение правил $\frac{2n-1}{3}$ и $\frac{4n-1}{3}$:
Если $n \equiv 1 \pmod 3$, то применяем $\frac{4n-1}{3}$.
Если $n \equiv 2 \pmod 3$, то применяем $\frac{2n-1}{3}$.

Пример
13 $\rightarrow$ 17 $\rightarrow$ 11 $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ 9.
53 $\rightarrow$ 35 $\rightarrow$ 23 $\rightarrow$ 15.

Mod (3)
Все натуральные числа по модулю 3 мы можем представить как: $3k-2$, $3k-1$, $3k.$

Число 23
Возьмем число 23, это $3k-1$, где $k=8$.
23 – это $n \equiv 2 \pmod 3$. Применяем правило $\frac{2n-1}{3}$, а точнее подставляем в это правило $3k-1$.

$\frac{2(3k-1)-1}{3} = \frac{6k-3}{3}=2k-1$

Пусть $2k-1=y$. Но мы знаем, что $y \equiv 0 \pmod 3$, тогда

$y=3z$, из этого следует, что $2k-1=3z, z=\frac{2k-1}{3}$

Таким образом, нечетное число вида $3k-1$ дает ветку рекурсии $n \equiv 0 \pmod 3$, в том случае если
$2k-1 \equiv 0 \pmod 3$.

Число 7
Возьмем число 7, это $3k-2$, где $k=3$.
7 – это $n \equiv 1 \pmod 3$. Применяем правило $\frac{4n-1}{3}$, а точнее подставляем в это правило $3k-2$.

$\frac{4(3k-2)-1}{3} = \frac{12k-9}{3}=4k-3$

Пусть $4k-3=y$. Но мы знаем, что $y \equiv 0 \pmod 3$, тогда

$y=3z$, из этого следует, что $4k-3=3z, z=\frac{4k-3}{3}, z=\frac{4k}{3}-1$

Таким образом, число вида $3k-2$ дает ветку рекурсии $n \equiv 0 \pmod 3$, в том случае если
$4k \equiv 0 \pmod 3$.

Проверим
Число 23, это $3k-1, \text{ где } k=8, \quad 2k-1=15, \quad 15 \equiv 0 \pmod 3$.
Число 7, это $3k-2, \text{ где } k=3, \quad 4k=12, \quad 12 \equiv 0 \pmod 3$.

Мы приходим к выводу, что ветка рекурсии в гипотезе Коллатца заканчивается на $n \equiv 0 \pmod 3$, потому что правила $\frac{2n-1}{3}$ и $\frac{4n-1}{3}$ перебирают нечетные числа вида $3k-2$, $3k-1$, которые в своем ряду содержат:

$2k-1 \equiv 0 \pmod 3 \quad \text{и} \quad 4k \equiv 0 \pmod 3$.

Но такой ответ мало кого устроит. Кто специалист по теории чисел?
Почему такой перебор всегда заканчивается $n \equiv 0 \pmod 3$?
Т.е. почему многократно применяя правила $\frac{2n-1}{3}$ и $\frac{4n-1}{3}$ мы всегда упираемся в $n \equiv 0 \pmod 3$? Т.е. почему не уходим в бесконечность, в бесконечную последовательность нечетных чисел?

[Martynov_M]

Пример
Число 28697813, $n \equiv 2 \pmod 3$.
Применим к нему правило $\frac{2n-1}{3}$ пятнадцать раз:

28697813 $\rightarrow$ 19131875 $\rightarrow$ 12754583 $\rightarrow$ 8503055 $\rightarrow$ 5668703 $\rightarrow$ 3779135 $\rightarrow$ 2519423 $\rightarrow$ 1679615 $\rightarrow$ 1119743 $\rightarrow$ 746495 $\rightarrow$ 497663 $\rightarrow$ 331775 $\rightarrow$ 221183
$\rightarrow$ 147455 $\rightarrow$ 98303 $\rightarrow$ 65535

65535 - это $n \equiv 0 \pmod 3$, хвост рекурсии.

Проверим
Число 98303, это $3k-1, \text{ где } k=32768, \quad 2k-1=65535, \quad 65535 \equiv 0 \pmod 3$.

[Martynov_M]

Пример
Число 354295, $n \equiv 1 \pmod 3$.
Применим к нему правило $\frac{4n-1}{3}$ одиннадцать раз:

354295 $\rightarrow$ 472393 $\rightarrow$ 629857 $\rightarrow$ 839809 $\rightarrow$ 1119745 $\rightarrow$ 1492993 $\rightarrow$ 1990657 $\rightarrow$ 2654209 $\rightarrow$ 3538945 $\rightarrow$ 4718593 $\rightarrow$ 6291457 $\rightarrow$ 8388609

8388609 - это $n \equiv 0 \pmod 3$, хвост рекурсии.

Проверим
Число 6291457, это $3k-2, \text{ где } k=2097153, \quad 4k=8388612, \quad 8388612 \equiv 0 \pmod 3$.

[Martynov_M]

Ende писал(а):

Не нужно больше терзать форум своими попытками доказать гипотезу Коллатца. Несите их куда-нибудь в другое место.

Ende!
Дружище, эту тему нужно тоже забанить.
Она тоже связана с гипотезой Коллатца.
Если взялся банить, доводи работу до конца.

[Iosafat]

Martynov_M Напрасно вы злитесь, подождите немного пока эмоции поутихнут.

[Martynov_M]

Он власть. Он уполномочен карать. Потому что только власть, и только она имеет легитимное право на насилие. Если он принял решение запретить тему, связанную с доказательством гипотезы Коллатца, то пусть доводит дело до конца.

[Iosafat]

Martynov_M Так поступил бы любой другой на его месте и вы в том же числе, просто поставьте себя на его место. Если бы кто-то игнорировал ваши аргументы, как вы игнорировали вопросы участников, если бы ваш собеседник отказывался делать выводы когда пытаешься по-хорошему, какая по вашему должна быть реакция?

[Утундрий]

Сериал "В ожидании Рекурсии"?

[Martynov_M]

Я согласился с Ende, и со всеми участниками форума, что статья получилась скомканная. Но! я опубликовал новую статью, и её моментально забанили!
Конфликт именно в этом. П – принципиальность.

Ну, а по существу, я, конечно, согласен. Это очень сложно понять, почему любое нечетное число можно подставить в рекурсию и пойти по ней как вниз, так и вверх.
Но я готов был это обсуждать.

Martynov_M в сообщении #1585973 писал(а):

Акцентирую! Всего один раз применив $3n+1$ и $n/2$ мы уже находимся в рекурсии.

Я не держусь за сообщество, которое банит тебя только за то, что ты имеешь другой взгляд на проблему.
Именно поэтому я могу себе позволить критиковать работу админа.

-- 30.03.2023, 08:54 --

Утундрий в сообщении #1587480 писал(а):

Сериал "В ожидании Рекурсии"?

Рекурсивный сериал :)

[Iosafat]

Martynov_M Обсуждать в том же стиле, т.е. доходить до неудобного вам момента и снова игнорить? Вы в ярости? Стали бы вы объяснять снова и снова одно и тоже, тому кто в ярости, тому, кто вас снова не услышит?

[Martynov_M]

Я не в ярости.
Но я хочу прояснить моменты с Ende. Пусть он ответит.

Он указал мне на дверь, чтобы я уходил с этого форму "со своей гипотезой Коллатца", как он выразился.
А выразился он именно так:

Ende писал(а):

Не нужно больше терзать форум своими попытками доказать гипотезу Коллатца. Несите их куда-нибудь в другое место.

Ende, вы же так выразились?

[Iosafat]

Martynov_M 5 стадий принятия неизбежного:
1. Отрицание и изоляция
2. Гнев
3. Торговля
4. Депрессия
5. Смирение

[Yadryara]

Народ, вы что не в курсе, что обсуждать модерацию можно только в "Работе форума" и в личке...

[Iosafat]

Yadryara Я не знал - больше не буду.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: к другим аналогичным темам.