Цепная линия, проходящая через 2 точки.

[vadulik]

Приветствую.

Есть уравнение цепной линии в общем виде (надеюсь, что это правильная запись):
$y=a\cdot\ch(\frac{x-p}{a})+q$

Мне нужно найти параметры $p$ и $q$ такие, чтобы график уравнения проходил через 2 заданные точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$.
Параметр $a$ считается известным.
Я в исходное уравнение подставил сначала значения координат первой точки, а потом значения второй.
Получил систему двух уравнений с двумя неизвестными.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &y_1=a\cdot\ch(\frac{x_1-p}{a})+q& (1)\\ &y_2=a\cdot\ch(\frac{x_2-p}{a})+q& (2)\\ \end{array} \right.$$

Вычел из второго уравнения первое, тем самым избавился от параметра $q$.
Полученное уравнение решил относительно параметра $p$.
Получил следующее:

$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot \operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$

Для нахождения параметра $q$ достаточно (как я предполагал) подставить значение параметра $p$ в первое или во второе уравнение и решить полученное уравнение относительно параметра $q$.

Но получилось следующее. Если подставить параметр $p$ в первое уравнение, то график проходит через точку с координатами $(x_1; y_1)$. Если подставить во второе уравнение, то график проходит через точку $(x_2; y_2)$.

А мне нужно, чтобы график одновременно проходил через обе точки.

Помогите пожалуйста решить задачу.

[rascas]

vadulik в сообщении #1587315 писал(а):

Получил следующее:

$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot ar\sh(\frac{y_2-y_1}{2\cdota\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$

Похоже здесь ошибка. ($a$ потеряли)

[Mihr]

А по-моему, потеряна двойка перед $a$. (Или Вы это и имели в виду?)

[vadulik]

Извиняюсь. параметр $a$ не отобразился. (формулу не правильно записал)

Вот решение:

$y_2-y_1=a\cdot\ch(\frac{x_2-p}{a})-a\cdot\ch(\frac{x_1-p}{a})$

$y_2-y_1=a\cdot(\ch(\frac{x_2-p}{a})-\ch(\frac{x_1-p}{a}))$

$y_2-y_1=a\cdot(2\cdot\sh(\frac{x_2+x_1-2\cdot p}{a})\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a}))$

$\sh(\frac{x_2+x_1-2\cdot p}{a})=\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a})}$

$\operatorname{arsh}(\sh(\frac{x_2+x_1-2\cdot p}{a}))=\operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a})})$

$\frac{x_2+x_1-2\cdot p}{a}=\operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a})})$

$x_2+x_1-2\cdot p=a\cdot(\operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a})}))$

$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot \operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$

И вот имея эту формулу для $p$ я не могу получить график, который проходит через обе точки.

Не знаю как продемонстрировать, что график не проходит через заданные точки.
Я график строю в программе Компас 3D.
Попробую вечером в маткаде что-нибудь придумать...

[rascas]

rascas в сообщении #1587318 писал(а):

vadulik в сообщении #1587315 писал(а):

Получил следующее:

$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot ar\sh(\frac{y_2-y_1}{2\cdota\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$

Похоже здесь ошибка. ($a$ потеряли)

vadulik в сообщении #1587321 писал(а):

$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot \operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$

Вот про какое потерянное $a$ я говорил. Теперь сходится с моим решением.

vadulik в сообщении #1587321 писал(а):

Не знаю как продемонстрировать, что график не проходит через заданные точки.

График опубликуйте. (И не забудьте сообщить какое значение $a$ выбрали.)

[Mihr]

vadulik, мне кажется, что разность гиперболических косинусов преобразуется в удвоенное произведение синуса полусуммы и синуса полуразности. Проверьте этот момент.

[vadulik]

да да...
Я кажется в расчётах упустил двойку.

Сейчас переделываю.

[rascas]

rascas в сообщении #1587324 писал(а):

Теперь сходится с моим решением.

Mihr в сообщении #1587325 писал(а):

синуса полусуммы и синуса полуразности

И я там двойки потерял.

[vadulik]

Mihr
Добрый человек, я тебе безмерно признателен.
Я несколько дней мучался с решением и не понимал... А оказалось всё дело в моей невнимательности

Теперь всё работает... и я могу дальше продолжать свои расчёты.