2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Цепная линия, проходящая через 2 точки.
Сообщение29.03.2023, 08:54 
Приветствую.

Есть уравнение цепной линии в общем виде (надеюсь, что это правильная запись):
$y=a\cdot\ch(\frac{x-p}{a})+q$

Мне нужно найти параметры $p$ и $q$ такие, чтобы график уравнения проходил через 2 заданные точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$.
Параметр $a$ считается известным.
Я в исходное уравнение подставил сначала значения координат первой точки, а потом значения второй.
Получил систему двух уравнений с двумя неизвестными.
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &y_1=a\cdot\ch(\frac{x_1-p}{a})+q& (1)\\ 
 &y_2=a\cdot\ch(\frac{x_2-p}{a})+q& (2)\\ 
\end{array}
\right.$$

Вычел из второго уравнения первое, тем самым избавился от параметра $q$.
Полученное уравнение решил относительно параметра $p$.
Получил следующее:

$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot \operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$

Для нахождения параметра $q$ достаточно (как я предполагал) подставить значение параметра $p$ в первое или во второе уравнение и решить полученное уравнение относительно параметра $q$.

Но получилось следующее. Если подставить параметр $p$ в первое уравнение, то график проходит через точку с координатами $(x_1; y_1)$. Если подставить во второе уравнение, то график проходит через точку $(x_2; y_2)$.

А мне нужно, чтобы график одновременно проходил через обе точки.

Помогите пожалуйста решить задачу.

 
 
 
 Re: Цепная линия, проходящая через 2 точки.
Сообщение29.03.2023, 09:24 
vadulik в сообщении #1587315 писал(а):
Получил следующее:

$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot ar\sh(\frac{y_2-y_1}{2\cdota\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$
Похоже здесь ошибка. ($a$ потеряли)

 
 
 
 Re: Цепная линия, проходящая через 2 точки.
Сообщение29.03.2023, 09:36 
Аватара пользователя
А по-моему, потеряна двойка перед $a$. (Или Вы это и имели в виду?)

 
 
 
 Re: Цепная линия, проходящая через 2 точки.
Сообщение29.03.2023, 09:46 
Извиняюсь. параметр $a$ не отобразился. (формулу не правильно записал)

Вот решение:

$y_2-y_1=a\cdot\ch(\frac{x_2-p}{a})-a\cdot\ch(\frac{x_1-p}{a})$

$y_2-y_1=a\cdot(\ch(\frac{x_2-p}{a})-\ch(\frac{x_1-p}{a}))$

$y_2-y_1=a\cdot(2\cdot\sh(\frac{x_2+x_1-2\cdot p}{a})\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a}))$

$\sh(\frac{x_2+x_1-2\cdot p}{a})=\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a})}$

$\operatorname{arsh}(\sh(\frac{x_2+x_1-2\cdot p}{a}))=\operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a})})$

$\frac{x_2+x_1-2\cdot p}{a}=\operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a})})$

$x_2+x_1-2\cdot p=a\cdot(\operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot \sh(\frac{x_2-x_1}{a})}))$

$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot \operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$

И вот имея эту формулу для $p$ я не могу получить график, который проходит через обе точки.

Не знаю как продемонстрировать, что график не проходит через заданные точки.
Я график строю в программе Компас 3D.
Попробую вечером в маткаде что-нибудь придумать...

 
 
 
 Re: Цепная линия, проходящая через 2 точки.
Сообщение29.03.2023, 09:58 
rascas в сообщении #1587318 писал(а):
vadulik в сообщении #1587315 писал(а):
Получил следующее:

$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot ar\sh(\frac{y_2-y_1}{2\cdota\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$
Похоже здесь ошибка. ($a$ потеряли)
vadulik в сообщении #1587321 писал(а):
$p=\frac{x_2+x_1-a\cdot \operatorname{arsh}(\frac{y_2-y_1}{2\cdot a\cdot\sh(\frac{x_2-x_1}{a})})}{2}$
Вот про какое потерянное $a$ я говорил. Теперь сходится с моим решением.

vadulik в сообщении #1587321 писал(а):
Не знаю как продемонстрировать, что график не проходит через заданные точки.
График опубликуйте. (И не забудьте сообщить какое значение $a$ выбрали.)

 
 
 
 Re: Цепная линия, проходящая через 2 точки.
Сообщение29.03.2023, 10:05 
Аватара пользователя
vadulik, мне кажется, что разность гиперболических косинусов преобразуется в удвоенное произведение синуса полусуммы и синуса полуразности. Проверьте этот момент.

 
 
 
 Re: Цепная линия, проходящая через 2 точки.
Сообщение29.03.2023, 10:17 
да да...
Я кажется в расчётах упустил двойку.

Сейчас переделываю.

 
 
 
 Re: Цепная линия, проходящая через 2 точки.
Сообщение29.03.2023, 10:19 
rascas в сообщении #1587324 писал(а):
Теперь сходится с моим решением.
Mihr в сообщении #1587325 писал(а):
синуса полусуммы и синуса полуразности
И я там двойки потерял. :facepalm:

 
 
 
 Re: Цепная линия, проходящая через 2 точки.
Сообщение29.03.2023, 10:45 
Mihr
Добрый человек, я тебе безмерно признателен.
Я несколько дней мучался с решением и не понимал... А оказалось всё дело в моей невнимательности :facepalm:

Теперь всё работает... и я могу дальше продолжать свои расчёты.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group