Биекция прямых.

[Maxim19]

Здравствуйте, помогите пожалуйста составить биекцию между прямыми, параллельными оси OX и прямыми, пересекающими ось OX. Сама задача про то, что отношение эквиваленции сделали так, что получилось разбиение плоскости на горизонтальные прямые. И надо показать взаимное соответствие между фактормножеством этим и множеством прямых, пересекающих ось OX. У меня не получается. Из условия понятно, что надо использовать точку пересечения. Можно например сопоставить каждой общей точке OY и горизонтальной прямой пару общих точек "косой" прямой с OX и горизонтальной, которой соответствуем. Но не получается подобрать то, что всё учитывает. Помогите

[svv]

Вместо оси $Ox$ я возьму $Oy$:
Составить биекцию между прямыми, параллельными оси $Oy$ и прямыми, пересекающими ось $Oy$.
И буду считать, что «пересекающие» — означает «пересекающие ровно в одной точке», то есть сама $Oy$ к этому множеству не относится.

Я не решу Вашу задачу, но сведу её к более приятной.
1) Установим биекцию между прямыми, параллельными $Oy$, и $\mathbb R$: прямой $x=a$ сопоставим число $a$.
2) Установим биекцию между прямыми, пересекающими $Oy$, и $\mathbb R^2$: прямой $y=ax+b$ сопоставим пару $(a,b)$.
Вам остаётся построить биекцию между $\mathbb R$ и $\mathbb R^2$. Она существует, но не может быть непрерывной, поэтому никакие чисто геометрические построения не помогут.

[Maxim19]

А какие тогда построения помогут?

[svv]

Посмотрите Верещагин, Шень. Начала теории множеств, теоремы 4 и 5, а может, и весь пункт 1.4, и задачи из этого пункта.