Зачем нужна функция Лапласа?

[F111mon]

Почему в теории вероятностей при изучении нормального распределения вводят функцию Лапласа?
Есть же общий термин: функция распределения, для чего вычитать из нее 0,5 и вводить новое понятие?

[alisa-lebovski]

Функция Лапласа существует и сама по себе, в математическом анализе, дифференциальных уравнениях и др. А не только в теории вероятностей.

[Vicktorovna]

Смешной вопрос: зачем столько тригонометрических функций, если все они выражаются друг через друга??
А если вспомнить формулу Эйлера, то и одной экспоненты достаточно.
Вот я и спросила.

[F111mon]

alisa-lebovski в сообщении #1586092 писал(а):

Функция Лапласа существует и сама по себе, в математическом анализе, дифференциальных уравнениях и др. А не только в теории вероятностей.

А где именно? В интернете что-то не ищется

[GAA]

На мой взгляд, функция Лапласа или функция ошибок ($\operatorname {erf} x = \frac 2 {\sqrt {\pi}} \int_0^x \exp(-t^2) dt$) в теории вероятностей была актуальна до широкого распространения персональных компьютеров. Нужно было использовать имеющиеся под рукой таблицы. А на сегодняшний день большинство пакетов позволяет вычислять значения функции распределения (для достаточно широкого диапазона распределений, а для нормального особенно). В общем, не актуальный, на мой взгляд, сегодня материал, и в нормальных курсах [теории вероятностей] его [сведение функции нормального распределения к функции ошибок) не дают или дают в качестве упражнения. Интерес этот материал представляет только для разработчиков программ (через что выражать функцию нормального распределения, какие подходы есть для вычисления функции ошибок).

Функция ошибок возникает, например, при решении задач для уравнения теплопроводности. См., например, Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики (изданий было много, в разные годы). Эту книгу можно найти в сети и в большинстве библиотек она есть. Но можно посмотреть в других книгах по УМФ.

В общем, странный исходный вопрос темы, на мой взгляд. По второму вопросу (даже не получив образования) быстро можно нагуглить ответ.

-- Thu 23.03.2023 17:28:28 --

Ещё больше примеров использования функции ошибок можно найти у физиков и инженеров при решении задач для уравнения теплопроводности/диффузии. Например
Старк Дж.П. Диффузия в твердых телах, 1980, с. 24 (формула 1.43).

[F111mon]

Т.е., это достаточное основание для введения дополнительного понятия?
Предполагается, что когда (если) студент дойдет до уравнения теплопроводности, он обрадуется старой знакомой функции и вспомнит добрым словом преподавателя теории вероятностей?

[worm2]

Ну в какой-то степени это действительно вопрос вкуса, наподобие такого: заводить ли дополнительное буквенное обозначение для $2\pi$ или $\pi/2$, или даже "а не переобозначить ли нам $\pi$?".
Но функция Лапласа "лучше" функции распределения, хотя бы потому что нечётная и чаще встречается в приложениях (кроме теорвера), чем "функция нормального распределения". Хотя опять может возникнуть вопрос: а какой коэффициент лучше ставить перед интегралом в её определении? Тут из соображений удобства исходят, а когда у математиков из разных областей математики разные представления об удобстве, действует принцип "кто раньше встал, того и тапки".

[GAA]

F111mon в сообщении #1588204 писал(а):

Предполагается, что когда (если) студент дойдет до уравнения теплопроводности, он обрадуется старой знакомой функции и вспомнит добрым словом преподавателя теории вероятностей?

У меня первый семестр УМФ был до ТВ, но в УМФ мне функцию ошибок не вводили. (Для УМФ это слишком частный и мелкий вопрос.) Можно в ответах к упражнениям просто приводить интегралы с переменным верхним пределом, не сводя к erf. И в техническом вузе, где я работал, задачи для уравнений в частных производных были до ТВ и функцию ошибок не вводили. Конечно, нужно смотреть учебные планы для конкретных специальностей конкретных университетов.

Во время учебы во втором семестре я встретился с erf в дисциплине Программирование. К тому времени нам было известно из курса анализа о том, что, если первообразная не выражается в элементарных функциях (как, в частности, в случае $e^{-x^2}$), то её можно записать в виде интеграла с переменим верхним пределом. Нам давали один из диалектов FORTRAN IV. Вообще, в старые времена в библиотеках многих языков программирования были функции erf и erfc, но не было функции нормального распределения. Например, в различных диалектах FORTRAN IV (В частности IBM System/360 FORTRAN IV pdf). И если нужно было запрограммировать функцию нормального распределения, то её сводили к функции ошибок. (Но это всё о давно минувших временах.) Об алгоритмах вычисления erf и erfc нам не рассказывали.

Кратко: даже если студент и дойдёт до уравнения теплопроводности, то высок шанс с функцией ошибок не столкнуться. А если при выполнении упражнений в ответах преподавателю захочется привести выражения с функцией ошибок, то просто нужно указать (преподавателю) определение этой функции (в ответах, в указаниях,...).

F111mon в сообщении #1588204 писал(а):

Т.е., это достаточное основание для введения дополнительного понятия?

На мой взгляд, недостаточно для изложения в ТВ и сегодня для основной массы студентов не нужно (при изучении ТВ). Есть более важный материал.

[alisa-lebovski]

И надо понимать, что преподавание имеет исторически сложившийся характер, передается от учителя ученику, а не придумывается каждый раз с нуля. Люди думают: не нами заведено, не нам и отменять.