"Алгебраическое" дифференциальное исчисление

[Утундрий]

(Оффтоп)

Вариант: сильно напоминает "птенца Вавилова гнезда".

[ewert]

EminentVictorians в сообщении #1582531 писал(а):

Ну это примерно как: "$\mathbb Q$ же является подполем $\mathbb R$ - значит нельзя определить $\mathbb R$ без $\mathbb Q$". Но нет, это неверная логика. $\mathbb R$ без $\mathbb Q$ определить можно.

Можно, но не нужно. Это противоречит вычислительной практике. С чисто практической точки зрения $\mathbb R$ ценно ровно потому, что формализует именно вычислительные процессы. А какие там аксиомы и кто кого подполе -- это уже вопрос восемнадцатый.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1582468 писал(а):

Я бы хотел посмотреть на дифференциальное исчисление без предельного перехода. Помню, что где-то уже видел такую формализацию, но в целом, несмотря на то, что точный источник я не помню, более-менее и так очевидно, что такая формализация возможна. Помню, что речь шла о том, что производная - это просто отношение бесконечно малых.

В одном журнале прочёл такую историю. Одному большому учёному как-то пришлось читать лекции по анализу для крайне слабой аудитории. И пределы, а также рассуждения с эпсилон и дельта студенты никак понять не могли. Тогда он решил преподавать по простому. Пределы, эпсилон и дельта вообще были удалены из курса. Дифференциалы понимались как некие очень маленькие величины. В результате все всё понимали на интуитивном уровне и даже что-то могли подсчитать. Но строго доказать ничего не могли. Но это им было в их дальнейшей деятельности не нужно. Однако инициатива этого учёного понимания и поддержки у чинов от образования не получила, ибо не соответствовала стандартной программе.

[мат-ламер]

Пара задач для топик-стартера: https://www.youtube.com/watch?v=gt3fuAh0fxY . Надеюсь имеет отношение к обсуждаемой теме.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1586029 писал(а):

Пара задач для топик-стартера: https://www.youtube.com/watch?v=gt3fuAh0fxY. Надеюсь имеет отношение к обсуждаемой теме.

Спасибо, хороший ролик. К слову, дифференцировать можно не только многочлены, но и формальные степенные ряды.

Пусть дан ряд

$$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... $$

Рассмотрим "приращение" $t$, т.е. найдем $f(x + t)$.

$$f(x + t) = a_0 + a_1(x + t) + a_2(x + t)^2 + ... = f_0(x) + f_1(x) t + f_2(x) t^2 + ...$$

(здесь $f_i(x)$ - ряды; ряд $f_1(x)$ и есть производная ряда $f$; $f_0(x) = f(x)$ )

Выполняются все обычные свойства:


$(af)' = a f'$
$(f + g)' = f' + g'$
$(fg)' = f'g + fg'$
и т.д.


Но это все довольно баянистый сюжет, который мне встречался наверное раза 3 минимум.

Я на самом деле не очень и много вникал во всю эту тематику по одной причине: все эти сюжеты кажутся "вырванными из контекста". Мне хотелось не просто пары примеров с многочленами и рядами, а последовательную теорию, которая охватывала бы много всего. (Мне кажется, что многочленами и рядами объекты, которые можно дифференцировать, не исчерпываются). А так, я очень доволен литературой, которую мне посоветовали; пока у меня не хватает знаний, чтобы все это понять, но по крайней мере я обзорно посмотрел на эту теорию, понял, что она существует, и что она в целом вполне читабельна. На данный момент мне этого более чем достаточно.

[miflin]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1582995 писал(а):

Дифференциалы понимались как некие очень маленькие величины. В результате все всё понимали на интуитивном уровне и даже что-то могли подсчитать.

Именно так нас, студентов физфака, и учили: дифференциал - бесконечно малое приращение.
Это на самом деле облегчало составление дифуров при описании того или иного процесса.
Дифференциал как "линейная часть приращения" для нас было "из другой оперы".

[alisa-lebovski]

мат-ламер, тем не менее, насколько я помню историю математики, строгость в матанализе, как и в других областях математики, наводилась не из принципа, как самоцель, а потому что интуитивное понимание в ряде случаев приводило к ошибкам и парадоксам.