Делимость простых чисел

[rightways]

Найдите все простые $p,q,r$ для которых

$$4pqr|p^5+q^5+r^5$$

Задача новая, есть доказательство.

[nnosipov]

Как я понимаю, здесь topic138784.html удалось преодолеть трудности? Если так, то интересно.

[rightways]

nnosipov
Нет, ту задачу я так и не решил. А эта задача уже по-другому решается, хоть они и похожи.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1458138 писал(а):

А эта задача уже по-другому решается, хоть они и похожи.

Заинтриговали. К сожалению, сейчас нужно заниматься гораздо более скучными делами.

Вообще, в последнее время появляется много новых интересных сюжетов, не успеваешь разгребать.

[rightways]

На самом деле, пятерки тут не важны. Важно то, что они нечетны.

[rightways]

gris
Нет, минимум 3-я степень, просто если будет стоять тройка вместо 5 то задачу можно будет решить и другим способом. Поэтому поставил пятерку.

[gris]

я перепутал "делит" и "делится" и убежал в смущении

[rightways]

Подсказка:

Символ Лежандра.

[nnosipov]

rightways
Вы не спешите, дайте подумать. У меня сейчас сессия началась, времени совсем нет.

[mathematician123]

Рассмотрим главный случай $p > q > r = 2$.

$$ 8pq \mid p^5 + q^5 + 32$$

Рассматриваем эту делимость по модулям $p$, $q$ и $8$ и получаем, что

$$ \left(\frac{-2p}{q}\right) = \left(\frac{-2q}{p}\right) = 1 \qquad 8 \mid p+q$$

Из $8 \mid p+q$ следует, что $(\frac{-2}{p})(\frac{-2}{q}) = -1$ и $(\frac{p}{q})(\frac{q}{p}) = 1$. Поэтому символы $(\frac{-2q}{p})$ и $(\frac{-2p}{q})$ не могут оба быть равны единице, так как их произведение равно -1.

А если рассматривать кубы вместо пятых степеней, то требование простоты можно убрать: не существует натуральных $x$, $y$, $z$, для которых

$$4xyz \mid x^3 + y^3 + z^3$$

Доказывается это похожим образом через символы Якоби.