ЗБЧ

[upjump]

Доброго времени суток! Быть может кто-то сталкивался с данной леммой и подскажет ссылку? Найти не получается, а самостоятельно я могу доказать ее лишь для случая $ \alpha \geqslant 2$.

Пусть для последователъности независимых случайных величин $\left\{\xi_i\right\}$ существуют числа $\alpha>1, \beta>0$ такие, что $E\left|\xi_i\right|^\alpha \leq \beta(i=1,2, \ldots)$. Тогда к последовательности $\left\{\xi_i\right\}$ применим закон больших чисел, т.е. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \xi_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E \xi_i \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ по вероятности.

[Sdy]

upjump в сообщении #1585576 писал(а):

могу доказать ее лишь для случая $ \alpha \geqslant 2$.

upjump в сообщении #1585576 писал(а):

существуют числа $\alpha>1, \beta>0$ такие

Мне кажется, здесь некоторая опечатка. Вы можете доказать для всяких $\alpha \geq 2$, а теорема для них то и формируется.
Из конечности моментов выше второго следует конечность второго момента. И тогда это просто закон больших чисел в слабой форме, разве нет?

[upjump]

Цитата:

Мне кажется, здесь некоторая опечатка.

Я тоже к этому склоняюсь. Или же здесь не добавлено, что $\alpha \in \mathbb{N}$.

[Combat Zone]

upjump в сообщении #1585576 писал(а):

Пусть для последователъности независимых случайных величин $\left\{\xi_i\right\}$ существуют числа $\alpha>1, \beta>0$ такие, что $E\left|\xi_i\right|^\alpha \leq \beta(i=1,2, \ldots)$. Тогда к последовательности $\left\{\xi_i\right\}$ применим закон больших чисел, т.е. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \xi_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E \xi_i \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ по вероятности.

Из выполнения этого условия следует выполнение условия типа Ляпунова $L_\alpha$, вследствие чего ЗБЧ выполнен для $\alpha>1$.
За подробностями - Боровков, Теория вероятностей, соотв. разделы.

-- 17.03.2023, 02:27 --

Sdy в сообщении #1585687 писал(а):

Мне кажется, здесь некоторая опечатка. Вы можете доказать для всяких $\alpha \geq 2$, а теорема для них то и формируется.

Нет, опечатки нет. Нет, теорема не так формулируется, там нет никаких двоек в общем случае.

[mihaild]

Считая для простоты что $E\xi_i = 0$, обозначив $\gamma = \frac{\alpha}{\alpha - 1}$, имеем $\frac{E|\xi_n|^2}{n^2} \leq \sqrt[\alpha]{E|\xi_i|^\alpha} \cdot \frac{1}{n^{1 + 2/\gamma}} \leq \frac{C}{n^{1 + 2/\gamma}}$.
Соответственно ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{E |\xi_n|^2}{n^2}$ сходится, а значит, по теореме Колмогорова, к $\xi_n$ применим УЗБЧ.

[Combat Zone]

mihaild
Момент второго порядка не обязан существовать. Если бы он был, все бы было совсем просто. При его существовании ТС умеет работать.

-- 17.03.2023, 03:17 --

Но кстати, да. Спасибо, что напомнили. Последовательность $\xi_k$ в условии Ляпунова должна быть уже центрирована, потому если она произвольна, то в условии должна фигурировать не ограниченность абсолютных моментов порядка $\alpha$, а ограниченность центральных абсолютных моментов того же порядка. Ну или смещать на матожидание сразу и больше не вспоминать об этом.

[mihaild]

А, да, там под корнем $E|\xi_i|^{2\alpha}$ получится. Т.е. халявы не получается.

[Combat Zone]

$1<\alpha<2$ -- это особый случай.
Если с.в. одинаково распределены - хватает существования момента первого порядка (Хинчин).
Если распределены по-разному, но $\alpha\ge 2$ - есть дисперсия и можно не вспоминать тяжелую артиллерию, хватает неравенства Чебышева.
А вот в промежутке между 1 и двойкой - Чебышева еще нет (ввиду отсутствия дисперсии), Хинчин тянет одинаково распределенные, но для разнораспределенных надо чем-то компенсировать отсутствие одинаковости.
Так что это нетривиальный результат, в одну строку он не доказывается.

Хотя, конечно, в Боровкове он приведен в настолько общем виде, что его долго приходится узнавать в лицо :)

[Sdy]

Combat Zone в сообщении #1585712 писал(а):

Нет, опечатки нет. Нет, теорема не так формулируется, там нет никаких двоек в общем случае.

Combat Zone в сообщении #1585716 писал(а):

$1<\alpha<2$ -- это особый случай.

Спасибо, это я упустил. При вещественных $\alpha : 1 < \alpha < 2$ тут действительно так просто к закону больших чисел в слабой форме не сводится.
Но в случае вещественных $\alpha \geq 2$ это всё-таки сначала неравенство Ляпунова, из него получаем что есть абсолютный момент второго порядка, из этого получаем, что есть дисперсия, а из этого уже по неравенству Чебышёва получаем закон больших чисел в слабой форме.

[Combat Zone]

Sdy в сообщении #1585731 писал(а):

Но в случае вещественных $\alpha \geq 2$ это всё-таки сначала неравенство Ляпунова, из него получаем что есть абсолютный момент второго порядка

Разумеется, можно и это доказать, хоть оно и очевидно. Я исхожу из того, как выглядит запрос ТС. А он знает, как

upjump в сообщении #1585576 писал(а):

доказать ее лишь для случая $ \alpha \geqslant 2$.

Значит, эта часть пояснений не требовала.

[upjump]

Цитата:

Значит, эта часть пояснений не требовала.

Да, все верно.

Combat Zone
Благодарю за предоставленную ссылку. Буду разбираться.

mihaild, Sdy
Спасибо за помощь.