2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ЗБЧ
Сообщение16.03.2023, 03:54 


22/06/19
62
Доброго времени суток! Быть может кто-то сталкивался с данной леммой и подскажет ссылку? Найти не получается, а самостоятельно я могу доказать ее лишь для случая $ \alpha \geqslant 2$.

Пусть для последователъности независимых случайных величин $\left\{\xi_i\right\}$ существуют числа $\alpha>1, \beta>0$ такие, что $E\left|\xi_i\right|^\alpha \leq \beta(i=1,2, \ldots)$. Тогда к последовательности $\left\{\xi_i\right\}$ применим закон больших чисел, т.е. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \xi_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E \xi_i \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ по вероятности.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение16.03.2023, 20:38 


07/08/16
328
upjump в сообщении #1585576 писал(а):
могу доказать ее лишь для случая $ \alpha \geqslant 2$.

upjump в сообщении #1585576 писал(а):
существуют числа $\alpha>1, \beta>0$ такие

Мне кажется, здесь некоторая опечатка. Вы можете доказать для всяких $\alpha \geq 2$, а теорема для них то и формируется.
Из конечности моментов выше второго следует конечность второго момента. И тогда это просто закон больших чисел в слабой форме, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение17.03.2023, 02:57 


22/06/19
62
Цитата:
Мне кажется, здесь некоторая опечатка.

Я тоже к этому склоняюсь. Или же здесь не добавлено, что $\alpha \in \mathbb{N}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение17.03.2023, 03:24 


22/11/22
440
upjump в сообщении #1585576 писал(а):
Пусть для последователъности независимых случайных величин $\left\{\xi_i\right\}$ существуют числа $\alpha>1, \beta>0$ такие, что $E\left|\xi_i\right|^\alpha \leq \beta(i=1,2, \ldots)$. Тогда к последовательности $\left\{\xi_i\right\}$ применим закон больших чисел, т.е. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \xi_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E \xi_i \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ по вероятности.

Из выполнения этого условия следует выполнение условия типа Ляпунова $L_\alpha$, вследствие чего ЗБЧ выполнен для $\alpha>1$.
За подробностями - Боровков, Теория вероятностей, соотв. разделы.

-- 17.03.2023, 02:27 --

Sdy в сообщении #1585687 писал(а):
Мне кажется, здесь некоторая опечатка. Вы можете доказать для всяких $\alpha \geq 2$, а теорема для них то и формируется.

Нет, опечатки нет. Нет, теорема не так формулируется, там нет никаких двоек в общем случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение17.03.2023, 03:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Считая для простоты что $E\xi_i = 0$, обозначив $\gamma = \frac{\alpha}{\alpha - 1}$, имеем $\frac{E|\xi_n|^2}{n^2} \leq \sqrt[\alpha]{E|\xi_i|^\alpha} \cdot \frac{1}{n^{1 + 2/\gamma}} \leq \frac{C}{n^{1 + 2/\gamma}}$.
Соответственно ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{E |\xi_n|^2}{n^2}$ сходится, а значит, по теореме Колмогорова, к $\xi_n$ применим УЗБЧ.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение17.03.2023, 03:56 


22/11/22
440
mihaild
Момент второго порядка не обязан существовать. Если бы он был, все бы было совсем просто. При его существовании ТС умеет работать.

-- 17.03.2023, 03:17 --

Но кстати, да. Спасибо, что напомнили. Последовательность $\xi_k$ в условии Ляпунова должна быть уже центрирована, потому если она произвольна, то в условии должна фигурировать не ограниченность абсолютных моментов порядка $\alpha$, а ограниченность центральных абсолютных моментов того же порядка. Ну или смещать на матожидание сразу и больше не вспоминать об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение17.03.2023, 04:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
А, да, там под корнем $E|\xi_i|^{2\alpha}$ получится. Т.е. халявы не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение17.03.2023, 04:56 


22/11/22
440
$1<\alpha<2$ -- это особый случай.
Если с.в. одинаково распределены - хватает существования момента первого порядка (Хинчин).
Если распределены по-разному, но $\alpha\ge 2$ - есть дисперсия и можно не вспоминать тяжелую артиллерию, хватает неравенства Чебышева.
А вот в промежутке между 1 и двойкой - Чебышева еще нет (ввиду отсутствия дисперсии), Хинчин тянет одинаково распределенные, но для разнораспределенных надо чем-то компенсировать отсутствие одинаковости.
Так что это нетривиальный результат, в одну строку он не доказывается.

Хотя, конечно, в Боровкове он приведен в настолько общем виде, что его долго приходится узнавать в лицо :)

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение17.03.2023, 11:14 


07/08/16
328
Combat Zone в сообщении #1585712 писал(а):
Нет, опечатки нет. Нет, теорема не так формулируется, там нет никаких двоек в общем случае.

Combat Zone в сообщении #1585716 писал(а):
$1<\alpha<2$ -- это особый случай.

Спасибо, это я упустил. При вещественных $\alpha : 1 < \alpha < 2$ тут действительно так просто к закону больших чисел в слабой форме не сводится.
Но в случае вещественных $\alpha \geq 2$ это всё-таки сначала неравенство Ляпунова, из него получаем что есть абсолютный момент второго порядка, из этого получаем, что есть дисперсия, а из этого уже по неравенству Чебышёва получаем закон больших чисел в слабой форме.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение17.03.2023, 11:51 


22/11/22
440
Sdy в сообщении #1585731 писал(а):
Но в случае вещественных $\alpha \geq 2$ это всё-таки сначала неравенство Ляпунова, из него получаем что есть абсолютный момент второго порядка

Разумеется, можно и это доказать, хоть оно и очевидно. Я исхожу из того, как выглядит запрос ТС. А он знает, как
upjump в сообщении #1585576 писал(а):
доказать ее лишь для случая $ \alpha \geqslant 2$.
Значит, эта часть пояснений не требовала.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ
Сообщение17.03.2023, 16:55 


22/06/19
62
Цитата:
Значит, эта часть пояснений не требовала.

Да, все верно.

Combat Zone
Благодарю за предоставленную ссылку. Буду разбираться.

mihaild, Sdy
Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group