Спасибо большое за ответы.
Для попытки обсуждения следующей предполагаемой опечатки в задачнике нам нужно вычислить
![$\sin\dfrac{\pi}{12}$ $\sin\dfrac{\pi}{12}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/5/545b3c05bedcf6662511fb3b49780afa82.png)
и
![$\cos\dfrac{\pi}{12}$ $\cos\dfrac{\pi}{12}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/4/464e3cdf99aaf9470a6b9e6257ca696882.png)
. Имеем:
![$\sin\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ $\sin\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/e/7de95ec0a4f9b2265fa1304938d8ebc182.png)
,
![$\cos\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$ $\cos\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/d/2cd26bb728e5f75ef1dfb0b0fea09b3382.png)
. А теперь приступаем к обсуждению опечатки. Проверьте, пожалуйста, решение 22.7, о):
Цитата:
Вот ответы из задачников, изданий, как и 2001, так и 2009 годов:
![Изображение](https://i.postimg.cc/QxGJ0Lbr/22-7.jpg)
У меня первые 2-то значения сошлись, а для 3-го упорно получается число, сопряженное тому, что приведено в ответе.
(Вот мое решение)
![$\sqrt[3]{1+i}=\sqrt[3]{\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)}=\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[3]{\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}}$ $\sqrt[3]{1+i}=\sqrt[3]{\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)}=\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[3]{\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/a/46a9224b80b16b29648c57ee55ad115f82.png)
,
![$\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k}{3}=\dfrac{(1+8k)\pi}{12}$ $\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k}{3}=\dfrac{(1+8k)\pi}{12}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/9/0f9036d814a6c8fdca1e4751b473de9a82.png)
,
![$k=0,\,1,\,2$ $k=0,\,1,\,2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/5/c25a23e9d90507075715318634e56c8082.png)
.
Для
![$k=0$ $k=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/f/8df03261b67972f1573d96bd4fcb462e82.png)
:
![$\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}+\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}i\right)=2^{\frac{1}{6}}\left(\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}i}{2^{\frac{3}{2}}}\right)=$ $\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}+\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}i\right)=2^{\frac{1}{6}}\left(\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}i}{2^{\frac{3}{2}}}\right)=$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/8/4384843f26a51431fb840459586a38ee82.png)
![$\dfrac{1}{2^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}}(\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}i)=\dfrac{1}{2^{\frac{4}{3}}}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)=$ $\dfrac{1}{2^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}}(\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}i)=\dfrac{1}{2^{\frac{4}{3}}}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)=$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/1/e0178f06ced0e66f7bc265bbff96bd5982.png)
![$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)$ $\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/3/0c3bacd19c3fce252f125d687ef0559782.png)
как раз и получается упомянутая выше сопряженность с тем, что приведено в ответе. Для двух оставшихся значений
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
получаем:
для
![$k=1$ $k=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/b/7eb22be4bf74527b54b6d6093847814782.png)
:
![$\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{3}{4}\pi+i\sin\dfrac{3}{4}\pi\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\left(-1+i\right)=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\left(-1+i\right)$ $\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{3}{4}\pi+i\sin\dfrac{3}{4}\pi\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\left(-1+i\right)=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\left(-1+i\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/7/ce77d62cb0180a9eee4f5dba44c2c6b082.png)
,
для
![$k=2$ $k=2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/2/e021cb770c745ec45faa5ae82936a9b882.png)
:
![$\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{17\pi}{12}+i\sin\dfrac{17\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\cos\dfrac{5\pi}{12}-i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\sin\dfrac{\pi}{12}-i\cos\dfrac{\pi}{12}\right)=$ $\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{17\pi}{12}+i\sin\dfrac{17\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\cos\dfrac{5\pi}{12}-i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\sin\dfrac{\pi}{12}-i\cos\dfrac{\pi}{12}\right)=$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/f/dff208f7702e635ef537cb93a6a0423582.png)
![$\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2^{\frac{3}{2}}}-\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2^{\frac{3}{2}}}i\right)=$ $\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2^{\frac{3}{2}}}-\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2^{\frac{3}{2}}}i\right)=$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/4/c64cf3d1d3f67cddcd11e9a59a67cd5482.png)
![$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(-\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}i)=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(1-\sqrt{3}-(\sqrt{3}+1)i)$ $\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(-\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}i)=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(1-\sqrt{3}-(\sqrt{3}+1)i)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/7/0071ebe76b57ab727af4bbd93d16fcdc82.png)
, т. е., имеем полное совпадение с тем остальным, что сказано в ответе.
Скажите, пожалуйста, это у меня очередной заскок или это очередная опечатка в задачнике?