Кострикин. Курс алгебры, задачник

[vpb]

Sinoid в сообщении #1585240 писал(а):

А что вы думаете по этому поводу?

Думаю, что вы правильно всё посчитали, а в задачнике ошибка.

[svv]

То есть «минимальным исправлением» авторского ответа было бы следующее:
$\sqrt[4]2 \left(\cos\frac{{\color{magenta}2}\pi+6k\pi}{12}+i\sin\frac{{\color{magenta}2}\pi+6k\pi}{12}\right)$
После чего, конечно, надо сократить дроби.

[Sinoid]

Спасибо большое за ответы.

Для попытки обсуждения следующей предполагаемой опечатки в задачнике нам нужно вычислить $\sin\dfrac{\pi}{12}$ и $\cos\dfrac{\pi}{12}$. Имеем:$\sin\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$, $\cos\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$. А теперь приступаем к обсуждению опечатки. Проверьте, пожалуйста, решение 22.7, о):

Цитата:

$\sqrt[3]{1+i}$

Вот ответы из задачников, изданий, как и 2001, так и 2009 годов:

У меня первые 2-то значения сошлись, а для 3-го упорно получается число, сопряженное тому, что приведено в ответе.

(Вот мое решение)

$\sqrt[3]{1+i}=\sqrt[3]{\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)}=\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[3]{\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}}$, $\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k}{3}=\dfrac{(1+8k)\pi}{12}$, $k=0,\,1,\,2$.
Для $k=0$: $\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}+\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}i\right)=2^{\frac{1}{6}}\left(\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}i}{2^{\frac{3}{2}}}\right)=$
$\dfrac{1}{2^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}}(\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}i)=\dfrac{1}{2^{\frac{4}{3}}}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)=$
$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)$ как раз и получается упомянутая выше сопряженность с тем, что приведено в ответе. Для двух оставшихся значений $k$ получаем:
для $k=1$: $\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{3}{4}\pi+i\sin\dfrac{3}{4}\pi\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\left(-1+i\right)=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\left(-1+i\right)$,
для $k=2$: $\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{17\pi}{12}+i\sin\dfrac{17\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\cos\dfrac{5\pi}{12}-i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\sin\dfrac{\pi}{12}-i\cos\dfrac{\pi}{12}\right)=$$\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2^{\frac{3}{2}}}-\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2^{\frac{3}{2}}}i\right)=$
$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(-\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}i)=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(1-\sqrt{3}-(\sqrt{3}+1)i)$, т. е., имеем полное совпадение с тем остальным, что сказано в ответе.

Скажите, пожалуйста, это у меня очередной заскок или это очередная опечатка в задачнике?

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1585367 писал(а):

или это очередная опечатка в задачнике?

Я полагаю, что опечатка, поскольку корень с минимальным углом должен располагаться в первой четверти и действительная часть у него должна быть положительна.

[Sinoid]

Спасибо.

[svv]

В одном крутом задачнике предлагалось для некоторого числа $z$ с единичным модулем найти $w=\sqrt[3]z$ (одно из значений). В ответах наборщик по невнимательности вместо $w$ набрал $\overline w$, но это тоже было допустимым ответом. Каким могло быть число $w$?
(задачка устная, достаточно ответа)

[Sinoid]

Ну, из 1 и извлекалось. Там 3 значения корня, одно действительное, 2 других комплексные, взаимно сопряженные. Могло быть, например, $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
svv
большое спасибо за вопрос.

[svv]

Sinoid в сообщении #1585450 писал(а):

Ну, из 1 и извлекалось.

Правильно, но есть ещё вариант.

[vpb]

Хочу упомянуть, что там есть решение попроще. Если число с аргументом $3\pi/4$ возвести в куб, то получится число с аргументом $9\pi/4$, т.е. $\pi/4$. У числа $1+i$ модуль $\sqrt2$, а аргумент $\pi/4$, поэтому в качестве одного из значений корня можно взять число с модулем $2^{1/6}$ и аргументом $3\pi/4$, т.е. $2^{1/6}(-1/\sqrt2+i/\sqrt2)=(-1+i)/\sqrt[3]2$. А остальные два корня получаются домножением на кубические корни из единицы, т.е. на $(-1\pm\sqrt3i)/2$.

Есть такое полезное наблюдение, что если $r$ и $s$ взаимно просты, то операция возведения в $r$-ю степень дает перестановку на множестве $s$-х корней из $1$. Значит, одно из значений $r$-го корня из $s$-го корня из $1$ --- это опять-таки $s$-й корень. В данном случае применяем это с $r=3$, $s=8$.

[Sinoid]

svv в сообщении #1585454 писал(а):

Правильно, но есть ещё вариант.

Да. На скорую руку я написал про то, что в определенном смысле проще. Поэтому я и написал

Sinoid в сообщении #1585450 писал(а):

например,

Но внутренне я чувствовал, что, скорее всего, существует что-то еще. И, правда, когда я уже отошел от компа, ко мне пришел еще 1 вариант решения задачи. Это - извлечение кубического корня из -1. Тогда $w$ могло было бы быть $\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ (опять же выбрал вариант попроще. Так-то, да, и для -1 существует еще 1 вариант решения/ответа для задачи).

[svv]

Ага.

[Sinoid]

[Sinoid]

В упражнении 22.7, мне кажется, я нашел еще пару опечаток. Вот снимок со всеми подозрительными (на него попали не только подозрительными задачами. Подозрительные я буду обсуждать сейчас) задачами:

А вот ответы к этим задачам:

Вот к букве и). Ответ да, правильный, но он же приведен в недосчитанном виде? Там ведь нужно доводить вычисления до конца? Да и по виду буквально только ответ к этой одной букве отличается от всех остальных. ИМХО, от учащихся ответ к этой букве ожидался в другом виде. Или нет?

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1585669 писал(а):

Вот к букве и). Ответ да, правильный, но он же приведен в недосчитанном виде?

Считайте, что это не ответ, а подсказка к нему.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1585669 писал(а):

Вот к букве и). Ответ да, правильный,

Нет, неправильный. В ответе написан квадратный корень из $1$, а должен быть $6$-й степени. Опечатка.