2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 ... 39  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение13.03.2023, 01:38 
Заслуженный участник


18/01/15
3184
Sinoid в сообщении #1585240 писал(а):
А что вы думаете по этому поводу?
Думаю, что вы правильно всё посчитали, а в задачнике ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение13.03.2023, 02:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10844
Crna Gora
То есть «минимальным исправлением» авторского ответа было бы следующее:
$\sqrt[4]2 \left(\cos\frac{{\color{magenta}2}\pi+6k\pi}{12}+i\sin\frac{{\color{magenta}2}\pi+6k\pi}{12}\right)$
После чего, конечно, надо сократить дроби.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.03.2023, 01:58 


03/06/12
2773
Спасибо большое за ответы.

Для попытки обсуждения следующей предполагаемой опечатки в задачнике нам нужно вычислить $\sin\dfrac{\pi}{12}$ и $\cos\dfrac{\pi}{12}$. Имеем:$\sin\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$, $\cos\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$. А теперь приступаем к обсуждению опечатки. Проверьте, пожалуйста, решение 22.7, о):
Цитата:
$\sqrt[3]{1+i}$

Вот ответы из задачников, изданий, как и 2001, так и 2009 годов:
Изображение
У меня первые 2-то значения сошлись, а для 3-го упорно получается число, сопряженное тому, что приведено в ответе.

(Вот мое решение)

$\sqrt[3]{1+i}=\sqrt[3]{\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)}=\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[3]{\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}}$, $\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k}{3}=\dfrac{(1+8k)\pi}{12}$, $k=0,\,1,\,2$.
Для $k=0$: $\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}+\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}i\right)=2^{\frac{1}{6}}\left(\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}i}{2^{\frac{3}{2}}}\right)=$
$\dfrac{1}{2^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}}(\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}i)=\dfrac{1}{2^{\frac{4}{3}}}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)=$
$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(\sqrt{3}+1+(\sqrt{3}-1)i)$ как раз и получается упомянутая выше сопряженность с тем, что приведено в ответе. Для двух оставшихся значений $k$ получаем:
для $k=1$: $\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{3}{4}\pi+i\sin\dfrac{3}{4}\pi\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\left(-1+i\right)=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\left(-1+i\right)$,
для $k=2$: $\sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\dfrac{17\pi}{12}+i\sin\dfrac{17\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\cos\dfrac{5\pi}{12}-i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\sin\dfrac{\pi}{12}-i\cos\dfrac{\pi}{12}\right)=$$\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2^{\frac{3}{2}}}-\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2^{\frac{3}{2}}}i\right)=$
$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(-\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}i)=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}(1-\sqrt{3}-(\sqrt{3}+1)i)$, т. е., имеем полное совпадение с тем остальным, что сказано в ответе.

Скажите, пожалуйста, это у меня очередной заскок или это очередная опечатка в задачнике?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.03.2023, 08:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6955
Sinoid в сообщении #1585367 писал(а):
или это очередная опечатка в задачнике?

Я полагаю, что опечатка, поскольку корень с минимальным углом должен располагаться в первой четверти и действительная часть у него должна быть положительна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.03.2023, 19:37 


03/06/12
2773
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.03.2023, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10844
Crna Gora
В одном крутом задачнике предлагалось для некоторого числа $z$ с единичным модулем найти $w=\sqrt[3]z$ (одно из значений). В ответах наборщик по невнимательности вместо $w$ набрал $\overline w$, но это тоже было допустимым ответом. Каким могло быть число $w$?
(задачка устная, достаточно ответа)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.03.2023, 23:38 


03/06/12
2773
Ну, из 1 и извлекалось. Там 3 значения корня, одно действительное, 2 других комплексные, взаимно сопряженные. Могло быть, например, $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
svv
большое спасибо за вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.03.2023, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10844
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1585450 писал(а):
Ну, из 1 и извлекалось.
Правильно, но есть ещё вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.03.2023, 00:16 
Заслуженный участник


18/01/15
3184
Хочу упомянуть, что там есть решение попроще. Если число с аргументом $3\pi/4$ возвести в куб, то получится число с аргументом $9\pi/4$, т.е. $\pi/4$. У числа $1+i$ модуль $\sqrt2$, а аргумент $\pi/4$, поэтому в качестве одного из значений корня можно взять число с модулем $2^{1/6}$ и аргументом $3\pi/4$, т.е. $2^{1/6}(-1/\sqrt2+i/\sqrt2)=(-1+i)/\sqrt[3]2$. А остальные два корня получаются домножением на кубические корни из единицы, т.е. на $(-1\pm\sqrt3i)/2$.

Есть такое полезное наблюдение, что если $r$ и $s$ взаимно просты, то операция возведения в $r$-ю степень дает перестановку на множестве $s$-х корней из $1$. Значит, одно из значений $r$-го корня из $s$-го корня из $1$ --- это опять-таки $s$-й корень. В данном случае применяем это с $r=3$, $s=8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.03.2023, 17:17 


03/06/12
2773
svv в сообщении #1585454 писал(а):
Правильно, но есть ещё вариант.

Да. На скорую руку я написал про то, что в определенном смысле проще. Поэтому я и написал
Sinoid в сообщении #1585450 писал(а):
например,

Но внутренне я чувствовал, что, скорее всего, существует что-то еще. И, правда, когда я уже отошел от компа, ко мне пришел еще 1 вариант решения задачи. Это - извлечение кубического корня из -1. Тогда $w$ могло было бы быть $\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ (опять же выбрал вариант попроще. Так-то, да, и для -1 существует еще 1 вариант решения/ответа для задачи).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.03.2023, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10844
Crna Gora
Ага.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.03.2023, 23:04 


03/06/12
2773
:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение16.03.2023, 19:13 


03/06/12
2773
В упражнении 22.7, мне кажется, я нашел еще пару опечаток. Вот снимок со всеми подозрительными (на него попали не только подозрительными задачами. Подозрительные я буду обсуждать сейчас) задачами:
Изображение
А вот ответы к этим задачам:
Изображение
Вот к букве и). Ответ да, правильный, но он же приведен в недосчитанном виде? Там ведь нужно доводить вычисления до конца? Да и по виду буквально только ответ к этой одной букве отличается от всех остальных. ИМХО, от учащихся ответ к этой букве ожидался в другом виде. Или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение16.03.2023, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6955
Sinoid в сообщении #1585669 писал(а):
Вот к букве и). Ответ да, правильный, но он же приведен в недосчитанном виде?

Считайте, что это не ответ, а подсказка к нему. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение16.03.2023, 19:53 
Заслуженный участник


18/01/15
3184
Sinoid в сообщении #1585669 писал(а):
Вот к букве и). Ответ да, правильный,
Нет, неправильный. В ответе написан квадратный корень из $1$, а должен быть $6$-й степени. Опечатка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 574 ]  На страницу Пред.  1 ... 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 ... 39  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group