Аксиоматика векторной алгебры.

[Sdy]

Если обратиться к классическим пособиям по аналитической геометрии, например к книге Александрова, то в самом начале можно увидеть следующее определение.

П. С. Александров. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями, составленного А. С. Пархоменко. писал(а):

Любые две точки $A$, $B$, пространства, данные в определённом порядке, так, что например $A$ является первой точкой, а $B$ - второй точкой, определяют отрезок вместе с данным на нём направлением (а именно направлением от $A$ к $B$), или направленный отрезок с началом $A$ и концом $B$. Направленный отрезок называют короче вектором.

Или, в более новой книге, по всей видимости, следующей по содержанию книге Александрова:

Аналитическая геометрия. Курс лекций с задачами, Садовничий Ю.В., Федорчук В.В. писал(а):

Вектором $\overline{MN}$ с началом в точке $M$ и концом в точке $N$ называется направленный отрезок $MN$, в котором точка $M$ объявлена началом, а точка $N$ - концом.

Так вот, мне не очень нравится, что для начала под это не подводится никакой аксиоматической базы. Да-да, я понимаю, что это очень прикладной курс, имеющий массу приложений в физике и CS, но всё-таки, мне было бы гораздо спокойнее, если бы я просто увидел перечень объектов, которые в рамках курса аналитической геометрии мы считаем неопределяемыми и перечень аксиом, которым эти объекты следуют. Если кто-нибудь знает книгу (или публикацию), которая закрывает этот вопрос (именно в контексте дальнейшего изложения курса аналитической геометрии по тому пути, как это сделано у Садовничего), я был бы очень рад её увидеть.

Я знаю, так сказать, обратный путь -- введём векторные пространства, потом скажем что векторное пространства образуют кортежи вида $(x_1,...,x_n) : \forall 1 \leq i \leq n \ x_i \in \mathbb{R}$ и будем векторами в $\mathbb{R}^n$ называть как раз такие координатные столбики. Но это тут не сильно помогает.

[Утундрий]

Sdy
Вы несколько раз упомянули какое-то "это". Можете пояснить, что под "этим" скрывается?

Если возможность построить по двум точкам направленный отрезок, то это Вам в точечно-векторную аксиоматику Вейля грести нужно.

P.S. Её ещё называют аксиоматикой Вейля-Рашевского.

P.P.S. Хотя началось всё, вестимо, с Гильберта.

[Sdy]

Утундрий,
Ну, я имел ввиду под "это", например, определение вектора (приведённое выше) и дальнейшее изложение курса аналитической геометрии по этим учебникам. То есть там учат складывать вектора, умножать на число, дальше вводят понятие коллинеарности и компланарности, вводят понятие базиса, и дальше по оглавлению.

Просто в рамках аксиоматики Цермело-Френкеля, мы получаем, так сказать описание, что можно делать с множествами в рамках теории множеств, что мы не можем определить в этих рамках, а что можем.

Вот тут, я так понимаю нужно принимать неопределяемым понятием понятие пространства, понятие точки, возможно, понятие отрезка. Дальше вводить некоторые аксиомы, на основе которых, собственно говоря можно и начинать повествование в том виде, в котором его ведёт Садовничий.
Во мне просто теплится надежда, что где-нибудь это проделано, всё-таки аналитическая геометрия очень, так сказать, популярная прикладная вещь. Но при этом какую бы книгу на эту тематику я не открыл, даже кроме приведённых двух, в начале я вижу что-то наподобие "повествование будем вести на пальцах, всё очевидно со школы".

[Markiyan Hirnyk]

Загляните в Дьедонне Ж., Линейная алгебра и элементарная геометрия, М.:-Наука, 1972 и Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении, М.: Просвещение, 1967. — 488 с.

[мат-ламер]

Sdy
Если вы читаете Александрова, то можете взять его другую книгу "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры", глава 12 - Аффинное n-мерное пространство.

Хотя там не в общем виде. Лучше взять книгу по линейной алгебре и геометрии Шафаревича и Ремизова (глава 8).

[Sdy]

Утундрий в сообщении #1585661 писал(а):

Sdy
P.S. Её ещё называют аксиоматикой Вейля-Рашевского.

Спасибо, похоже, что действительно ответ кроется в этой аксиоматике. По крайней мере нашёл работу Кузнецов В.В., Мастихин А.В. Аксиоматика Вейля — Рашевского в курсах аналитической геометрии и линейной алгебры. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/pedagogika/hidden/742.html и там как раз и говорится, что именно эта аксиоматика и используется неявно в книге Александрова и в книгах, на неё опирающихся и говорится, как это всё формально вывести.

мат-ламер в сообщении #1585667 писал(а):

Хотя там не в общем виде. Лучше взять книгу по линейной алгебре и геометрии Шафаревича и Ремизова (глава 8).

Спасибо, посмотрел, очень рад, что там это напрямую проговаривается и даже говорится, что

Линейная алгебра и геометрия, Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. писал(а):

Изучаемые в кусе элементарной или аналитической геометрии плоскость и пространство являются примерами аффинных пространств.

Буду к этой книге значит тоже обращаться. Когда-то давно её видел, но с той поры ни разу не открывал.

Markiyan Hirnyk в сообщении #1585665 писал(а):

Загляните в Дьедонне Ж., Линейная алгебра и элементарная геометрия, М.:-Наука, 1972 и Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении, М.: Просвещение, 1967. — 488 с.

Спасибо, посмотрю.

[EminentVictorians]

Sdy в сообщении #1585663 писал(а):

Вот тут, я так понимаю нужно принимать неопределяемым понятием понятие пространства, понятие точки, возможно, понятие отрезка.

Это если строить евклидову геометрию как отдельную теорию, не вкладывая ее в какую-нибудь теорию множеств. Там можно разные варианты неопределяемых понятий взять. У Гильберта - точка, прямая и плоскость. Плюс 3 отношения. У Вейля - точки и вектора.

Если есть теория множеств, можно просто взять за модель пространства - $\mathbb R^3$. Точка - это просто объект этого множества; прямые и плоскости определяется через линейные уравнения. Можно проверить, что таким образом определенные точки, прямые и плоскости будут действительно удовлетворять любой системе аксиом евклидовой геометрии. Т.е. все объекты собственно геометрии являются обычными определяемыми понятиями (все неопределяемые понятия в данном случае находятся на уровне теории множеств).

Но по-моему, никакая $ZFC$ для аналитической геометрии не нужна, достаточно обычной "наивной" теории множеств.

(Оффтоп)

я то считаю, что $ZFC$ в принципе бесполезная конструкция (за исключением, возможно, нескольких супер редких случаев, но даже здесь не факт), но это уже просто моя точка зрения, тут я не настаиваю

[gefest_md]

Sdy в сообщении #1585658 писал(а):

мне было бы гораздо спокойнее, если бы я просто увидел перечень объектов, которые в рамках курса аналитической геометрии мы считаем неопределяемыми и перечень аксиом, которым эти объекты следуют

Аксиоматика Гильберта с дополнительным рассмотрением множеств множеств фигур. Отрезок - множество точек. Направленный отрезок, вектор - множество множеств точек, $\{\{A\},\,\{A,\,B\}\}.$ Например, коммутативность сложения векторов вроде так и выводится (аксиома об откладывании отрезков).

[gefest_md]

Правда не знаю как определить эквивалентность векторов. Возможно поторопился. Может перед этим надо ввести систему координат?

[Vicktorovna]

П.К.Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ. Гл. II.

[Sdy]

Vicktorovna в сообщении #1585703 писал(а):

П.К.Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ. Гл. II.

Спасибо.

[gefest_md]

gefest_md в сообщении #1585702 писал(а):

как определить эквивалентность векторов

Цитата:

Будем говорить, что связанные векторы $AB$ и $CD$ равны, если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают.

Значит на этом этапе не нужна система координат.
Добавлю, что коммутативность сложения векторов в подразумеваемой аксиоматике равносильна аксиоме о параллельных.

[BVR]

Может, ТС будут полезны учебники для педвуза. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия, часть 1. Там понятие вектора вводится, как класс эквивалентности множества всех направленных отрезков по отношению равенства (направленных отрезков). Далее, в учебнике этих же авторов Геометрия, часть 2, в разделе Основания геометрии, рассматриваются аксиоматики евклидовой геометрии Гильберта, Вейля (о которых упоминали выше), Атанасяна, Погорелова и доказывается их эквивалентность.
Кроме того, в учебнике Ефимова "Высшая геометрия" прямо построена модель евклидовой геометрии (та, о которой говорил(а) EminentVictorians).

[Sdy]

BVR, gefest_md, EminentVictorians,
спасибо за ответы. Материалов мне порекомендовали достаточно, теперь чтобы что-то осознать - нужно время.