Если обратиться к классическим пособиям по аналитической геометрии, например к книге Александрова, то в самом начале можно увидеть следующее определение.
П. С. Александров. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями, составленного А. С. Пархоменко. писал(а):
Любые две точки

,

, пространства, данные в определённом порядке, так, что например

является первой точкой, а

- второй точкой, определяют отрезок вместе с данным на нём направлением (а именно направлением от

к

), или направленный отрезок с началом

и концом

. Направленный отрезок называют короче вектором.
Или, в более новой книге, по всей видимости, следующей по содержанию книге Александрова:
Аналитическая геометрия. Курс лекций с задачами, Садовничий Ю.В., Федорчук В.В. писал(а):
Вектором

с началом в точке

и концом в точке

называется направленный отрезок

, в котором точка

объявлена началом, а точка

- концом.
Так вот, мне не очень нравится, что для начала под это не подводится никакой аксиоматической базы. Да-да, я понимаю, что это очень прикладной курс, имеющий массу приложений в физике и CS, но всё-таки, мне было бы гораздо спокойнее, если бы я просто увидел перечень объектов, которые в рамках курса аналитической геометрии мы считаем неопределяемыми и перечень аксиом, которым эти объекты следуют. Если кто-нибудь знает книгу (или публикацию), которая закрывает этот вопрос (именно в контексте дальнейшего изложения курса аналитической геометрии по тому пути, как это сделано у Садовничего), я был бы очень рад её увидеть.
Я знаю, так сказать, обратный путь -- введём векторные пространства, потом скажем что векторное пространства образуют кортежи вида

и будем векторами в

называть как раз такие координатные столбики. Но это тут не сильно помогает.