LC-контур с электроном в конденсаторе

[Rooftrellen]

Доброго времени суток, есть задача: "Найти, чему равен сдвиг собственной частоты LC контура, если в емкость “вложен” свободный электрон". Даны следующие величины: $L, C, m, d, e$
Как я понимаю, дополнительная разность потенциалов, вносимая электроном, равна $ \Delta U = -e(\frac{1}{x} + \frac{1}{d-x})$, где $x$ это расстояние от нижней пластины до электрона, а $d$ это расстояние между пластинами. Найти $x$ можно решив диффур $m\ddot{x} = eE$, где $E$ можно выразить через $C, d, q$ и дальше уже можно найти искомое смещение частоты. Однако, у меня такое чувство, что я что-то упустил или не учел. Подскажите, пожалуйста, что именно.

[Osmiy]

Т.е. электрон находиться между пластинами и совершает колебательное движение под действием переменного напряжения на конденсаторе?

[svv]

Rooftrellen в сообщении #1585029 писал(а):

$ \Delta U = -e(\frac{1}{x} + \frac{1}{d-x})$

Возьмём плоский конденсатор, пластины не соединены друг с другом. Поместим электрон точно посередине между пластинами (обозначим эту точку $O$). Потенциалы пластин изменятся, но в силу симметрии на одну и ту же величину, так что $\Delta U=0$. Ваша формула при $x=\frac d 2$ даёт другое значение $\Delta U$.

Считайте, что электрон совершает малые колебания около точки $O$. Удобно за $x$ принять отклонение (со знаком) электрона от $O$, а не от нижней пластины. Можно ограничиться приближением
$\Delta U(x)\approx ax$, где $a=\left.\frac{d(\Delta U)}{dx}\right|_{x=0}$

topic79975.html

[Rooftrellen]

Osmiy в сообщении #1585031 писал(а):

Т.е. электрон находиться между пластинами и совершает колебательное движение под действием переменного напряжения на конденсаторе?

Да, именно так.

svv в сообщении #1585034 писал(а):

Возьмём плоский конденсатор, пластины не соединены друг с другом. Поместим электрон точно посередине между пластинами (обозначим эту точку $O$). Потенциалы пластин изменятся, но в силу симметрии на одну и ту же величину, так что $\Delta U=0$. Ваша формула при $x=\frac d 2$ даёт другое значение $\Delta U$.

Считайте, что электрон совершает малые колебания около точки $O$. Удобно за $x$ принять отклонение (со знаком) электрона от $O$, а не от нижней пластины. Можно ограничиться приближением
$\Delta U(x)\approx ax$, где $a=\left.\frac{d(\Delta U)}{dx}\right|_{x=0}$

Сделал, в итоге получил следующее:
$a=\left.\frac{d(\Delta U)}{dx}\right|_{x=0} = -e(\frac{d((\frac{d}{2}-x)^{-1})}{dx} - \frac{d((\frac{d}{2}+x)^{-1})}{dx}) = -e((\frac{d}{2}-x)^{-2} + (\frac{d}{2}+x)^{-2}) =-e\frac{d^{2}}{2}$
Откуда получаем $\Delta U(x) \approx -e\frac{d^{2}}{2}x$
Решив диффур с $x$, получаем:
$x = \frac{eE}{2m}t^{2}$
Получается, $\Delta U$ зависит от времени, и резонансная частота тоже? Интуиция подсказывает мне, что выглядит это странно, хотя ёмкость меняется со временем и, следовательно, резонансная частота. Нужно ли в таком случае усреднять по времени? И если да, то как?

[svv]

Вы расположили пластины горизонтально, одна над другой. Считаем, что координата $x=0$ для точек, расположенных посередине между пластинами, и увеличивается вверх. Электрон колеблется симметрично около $x=0$. Обозначим заряд на верхней пластине через $Q$ (тогда заряд нижней $-Q$), а заряд электрона $q=-e$ (заряд электрона отрицателен, а мировая константа $e$ положительна). Напряжение $U$ между пластинами конденсатора (разность между потенциалом верхней пластины и потенциалом нижней пластины) равно
$U=\frac QC+\Delta U=\frac QC+ax$
Движение электрона подчиняется уравнению $m\ddot{x} = qE$, где $E\approx -\frac{Q}{Cd}$. Знак понятен: при $Q>0$ поле $E$ направлено вниз. По поводу приближённого равенства: мы пренебрегли дополнительным полем, обусловленным поляризацией пластин из-за присутствия электрона, так как $|Q|\gg|q|$. (Кроме того, вклад поляризации в силу, действующую на электрон, квадратичен по $x$: электрон, смещённый из $x=0$ хоть вверх, хоть вниз, стремится притянуться к ближайшей пластине.)
Положительным направлением тока $I$ в индуктивности считаем направление «вниз». Тогда $I=-\dot Q$ и $U=L\dot I=-L\ddot Q$.
Выбираем динамическую величину (например, $Q$) и выражаем все остальные через неё, получаем ОДУ четвёртого порядка. Ищем гармоническое решение. Получаем уравнение для частоты
$\omega^4-\omega^2\omega_0^2-\frac{aq}{md}\omega_0^2=0,$
где $\omega_0^2=\frac 1{LC}$.

По поводу $a$ — сверьтесь с темой, на которую я дал ссылку (но там $x$ направлено «по полю», т.е. в нашей терминологии вниз).

[VASILISK11]

svv в сообщении #1585115 писал(а):

Счит

аем, что координата $x=0$ для точек, расположенных посередине между пластинами, и увеличивается вверх. Электрон колеблется симметрично около $x=0$.

В условии задачи не указано местоположение электрона Он будет колебаться, не зависимо от положения, под действием переменного электрического поля внутри конденсатора. Кинетическая энергия электрона изменяется так же, как магнитная энергия индуктивности, что приводит к сдвигу резонансной частоты.