2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение07.03.2023, 00:05 


06/03/23
5
Правка.

Выше написал https://www.mi-ras.ru/books/pdf/ser2.pdf А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Москва 2004
стр. 106,

а имел ввиду

https://www.mi-ras.ru/books/pdf/ser1.pdf А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Москва 2004
стр. 106

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение07.03.2023, 05:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4379
rumsim
Да, измеримость $f(x, z)$ как функции двух переменных нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение07.03.2023, 12:57 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Padawan в сообщении #1428020 писал(а):
А вот интересно, есть какая-нибудь общая теорема о дифференцировании абстрактного интеграла $\int_X f(x,z) d\mu_x$ по параметру $z$?
А то все время неинтересно теоремы из матанализа с кучей условий проверять. Вот допустим, хорошо бы была такая теорема:
Пусть функция $f(x,z)$ при каждом фиксированном $x\in X$ является аналитической функцией от $z$ в области $G\subset \mathbb C$, и при каждом $z\in G$ существует интеграл Лебега $I(z)=\int_X f(x,z) d\mu_x$. Если $|f(x,z)|\leqslant \varphi(x)$ при всех $z\in G$ и всех $x\in X$, и $\int_X\varphi(x) d\mu_x<+\infty$, то существует $I'(z)=\int_X f'_z(x,z) d\mu_x$.




Имеется непрерывное линейное отображение банаховых пространств $A:X\to Y$. Например $X=C^1[0,1],\quad Y=C[0,1],\quad A=\frac{d}{dx}$

Еще имеется пространство с мерой $(M,\sigma,\mu)$ и суммируемое отображение $f:M\to X$.
Спрашивается, можно ли делать так:
$$A\int_M fd\mu=\int_M A fd\mu\quad ?$$

Да, можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение07.03.2023, 15:08 
Заслуженный участник


13/12/05
4379
Поясните, пожалуйста, что есть что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение07.03.2023, 15:58 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Хорошо, еще один пример. $X$ -- банахово пространство функций ,голоморфных в круге $|z|<2$ и непрерывных в замыкании этого круга с нормиой равномерной сходимости.
$Y$ -- тоже самое для функций голоморфных в $|z|<1$ и непрерывных в замыкании. $A=\frac{d}{dz}:X\to Y$ -- непрерывное отображение. $M=\mathbb{R}^m$ со стандартной мерой $d\mu=dx$. Отображение
$f\in L^1(M,X)$. Т.е. это суммируемое отображение $M\ni x\mapsto f(x,\cdot)\in X,\quad f=f(x,z),\quad \frac{d}{dz}\int_Mf(x,z)dx=\int_M\frac{d}{dz}f(x,z)dx$
В последней формуле некоторая вольность речи допущена, зато понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение07.03.2023, 20:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4379
krum в сообщении #1584731 писал(а):
Отображение $f\in L^1(M,X)$. Т.е. это суммируемое отображение $M\ni x\mapsto f(x,\cdot)\in X$

1) Посоветуйте, пожалуйста, где лучше почитать об интегрировании вектор-функций. А то я только в Рудине Функциональный анализ читал, но там всё вроде бы в слабом варианте (даже детали забыл)
2) Как "функция $f(x, z) $, при каждом фиксированном $x$ являющаяся аналитической функцией от $z$", плюс $|f(x,z)|\leqslant \varphi(x)$, соотносится с суммируемым отображением $M\to$ пространство голоморфных функций. Есть ли тут биекция или включения хотя бы в одну сторону?

-- Вт мар 07, 2023 23:06:33 --

Я вот что хочу сказать: функциональный анализ, это один из возможных взглядов на проблему, он не лучше и не хуже, он другой. Да, он более высокого уровня абстракции, но часто это не помогает, так как обоснование тех или иных свойства пространств и отображений сводится к оценкам, доказываемым средствами низкоуровневого матана. . Это как бы другая культура. Да, более современная. Типа теории категорий. Ничего не хочу сказать против функана, сам его очень люблю и уважаю. Но так между делом им шиковать не стоит, типа тут всё очевидно. При обосновании всё равно проблемы будут. Конечно, взгляд сверху, общее понимание это хорошо, я согласен.
Не обижайтесь.

-- Вт мар 07, 2023 23:18:16 --

Вот просто, давайте, конкретно, докажите средствами функана теорему, которую я сформулировал. Да ещё и заменив условие $|f(x, z) |\leqslant \varphi(x) $ на $\int_X|f(x, z)| d\mu_x\leqslant M \;\;\forall z\in G$

-- Вт мар 07, 2023 23:18:57 --

Padawan в сообщении #1428265 писал(а):
Вообще круто. Для применения теоремы Фубини достаточно потребовать всего лишь, чтобы $\int_X |f(x,z)|d\mu_x\leqslant M$ для всех $z\in G$. Тогда можно дифференцировать по параметру сколько угодно раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение07.03.2023, 22:42 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Padawan в сообщении #1584755 писал(а):
Посоветуйте, пожалуйста, где лучше почитать об интегрировании вектор-функций

Serge Lang Real Analysis

Для суммируемости отображения
$f(x,z)=\sum_{k=0}^\infty a_k(x)z^k$
из $M$ в пространство голоморфных в круге функций мне нужно что бы все коэффициенты Тейлора $a_k$ были измеримыми функциями и $|f(x,z)|\le g(x)\in L^1(M)$ для всех $z$ из круга и почти всех $x$. Или так
$$  \sum_{k=0}^\infty R^k\int_M|a_k|d\mu<\infty$$

Padawan в сообщении #1584755 писал(а):
Вот просто, давайте, конкретно, докажите средствами функана теорему, которую я сформулировал

больше ни чем померяться не хотите?

-- 07.03.2023, 22:50 --

дифференцирование -- локальная операция, условия в $G$ тут не по делу

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение07.03.2023, 22:52 
Заслуженный участник


13/12/05
4379
krum в сообщении #1584771 писал(а):
больше ни чем померяться не хотите?

Уважаемый сэр, не кажется ли Вам, что это Вы всегда со всеми меряетесь! Так и скажите, что не знаете ответа на мой вопрос! Понтуйтесь перед своими студентами!

-- Ср мар 08, 2023 00:57:23 --

Ставлю Вас в игнор за хамство. Надоел, придурок. Неприятный тип.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение08.03.2023, 12:12 
Супермодератор


02/02/19
1087
krum в сообщении #1584771 писал(а):
больше ни чем померяться не хотите?
Padawan в сообщении #1584773 писал(а):
Надоел, придурок. Неприятный тип.
 !  Что ж, первым перешел на личности krum, но и Padawan в долгу не остался. Как эти ни печально, оба получают трехдневный бан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла Лебега по параметру
Сообщение08.03.2023, 23:19 


06/03/23
5
Оказывается, что мое утверждене „доказательство Драйвера тоже проходит и для теорема в форме Водопьянова с минимальным уточнением“ верно только в том случае когда параметр одномерен. Я не заметил, что часть предположении в теореме из ВОДОПЬЯНОВА фрмулированные в начале раздела, где указанно, eще условие, что при любого $x$ функция $f(x,t)$ переменной t измерима на множестве $T$.
Кроме равенство после дифференцировании, при предположиние что подинтегральная функция имеет дифференциал, ВОДОПЬЯНОВ доказывает, что и проинтегрированная функция тоже имеет дифференциал. Это утверждение не можно извлеч из доказательство Драйвера „минимальным уточнением.“. Так, что, формулировка и доказателства ВОДОПЬЯНОВА более общие и боле сильные, чем соответствующие формулировка и доказательство Драйвера.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group