2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение04.03.2023, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
мат-ламер в сообщении #1584301 писал(а):
Ибо минимизируемая функция невыпуклая и не всюду дифференцируема.
Попробуйте метод Нелдера-Мида, самое то. Для него есть стандартная программа в Python. Знакомые пользовались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение04.03.2023, 22:46 


24/08/12
926
Min-Energy Configurations of Electrons On A Sphere
Уже для 16-ти зарядов две разные равновесные конфигурации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение04.03.2023, 23:19 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва

(2D)

Ради интереса проверил изменение полной энергии при малом возмущении центрального заряда в 2D случае с зарядом в центре (остальные равномерно по окружности). И для $n=13$, и для $n=12$, и даже для $n=11$ что совсем уж удивительно, полная энергия выше чем в невозмущённом состоянии. Т.е. это выходит локальный минимум энергии. А для $n>11$ он является и глобальным минимумом (для 2D случая).
Попытался прямо посчитать приращение радиуса при малом возмущении центрального заряда, почему-то во всех случаях получил его увеличение. Это непонятно. Где-то похоже ошибся.

В том что конфигурация из 12-ти зарядов равномерно по окружности имеет большую энергию чем 11 зарядов равномерно по окружности и один в центре не вижу ничего удивительного, это же не пробный заряд в потенциальном поле зарядов с окружности.

В итоге так и не убеждён что любая система свободных зарядов (с конечным числом зарядов) трансформируется в распределение зарядов по сфере. Но к теме это уже как бы и не относится ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение05.03.2023, 10:13 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Dmitriy40

(2D)

Теорема Ирншоу есть следствие уравнения Лапласа.

Для корректного перехода в 2D также нужно перейти к двумерному уравнению Лапласа.
А тогда потенциал будет другой (что-то типа потенциала бесконечно длинной равномерно заряженной нити).

Dmitriy40 в сообщении #1584334 писал(а):
проверил изменение полной энергии при малом возмущении центрального заряда в 2D случае с зарядом в центре (остальные равномерно по окружности). И для $n=13$, и для $n=12$, и даже для $n=11$ что совсем уж удивительно, полная энергия выше чем в невозмущённом состоянии. Т.е. это выходит локальный минимум энергии.


При возмущении в плоскости окружности так и будет. А при возмущении перпендикулярно плоскости окружности энергия уменьшится.

Dmitriy40 в сообщении #1584334 писал(а):
А для $n>11$ он является и глобальным минимумом (для 2D случая).

А это сомнительно. Для достаточно большого $N$ распределение, близкое к равномерному (например, в узлах треугольной решётки), даст полную энергию меньшую, чем распределение по окружности и один заряд в центре.


(2D дополнение)

Вот тут.
Рассматривается задача о распределении заряда на плоском металлическом диске.
Да, распределение получается далёким от равномерного, с явным и сильным "перекосом" - на краях сильно больше, чем в центре.
Однако, для больших $N$ распределение зарядов близко к равномерному равновесному распределению зарядов даст общую энергию меньше, чем распределение заряда только по краю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение05.03.2023, 14:42 
Админ форума


02/02/19
1994
 !  мат-ламер
Замечание за неправильное оформление гиперссылок (исправил). Длинные URL нужно прятать в тег:
Код:
[url=...]текст[/url]

Иначе они ломают верстку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение05.03.2023, 15:15 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва

(2D)

EUgeneUS в сообщении #1584363 писал(а):
При возмущении в плоскости окружности так и будет.
А других возмущений в 2D и не бывает. Странно что выходит для любых $n>3$ заряд в центре является локальным минимумом энергии (и устойчивой конфигурацией если считать что сила направлена по градиенту потенциала) и значит при симуляции надо аккуратно проверять его на глобальность. При $n<4$ в центре не минимум, а седловина.
EUgeneUS в сообщении #1584363 писал(а):
А это сомнительно.
Да, это я оговорился, имел в виду что для $n>11$ заряд в центре выгоднее чем все по окружности. Разумеется глобальный минимум возможен при совсем других конфигурациях, выше об этом уже говорил.
EUgeneUS в сообщении #1584363 писал(а):
Рассматривается задача о распределении заряда на плоском металлическом диске.
Эту задачу с решением я много где нашёл. Но нас то интересовал не металлический диск, не проводник! И конечное и малое (относительно бесконечного) количество зарядов. Это кардинально другая задача и сходятся они лишь при $n=\infty$.


-- 05.03.2023, 16:00 --

(Если заряды не только на границе)

Кстати конфигурация со всеми зарядами на окружности/сфере тоже является локальным минимумом (с учётом границы окружности/сферы) так как на каждый заряд действует сила наружу окружности/сферы и соответственно ни один из них не может вытолкнуться внутрь.
мат-ламер, так что таки придётся учитывать наличие локальных минимумов и как-то из них выбираться или проверять много разных начальных конфигураций. Конечно если всё ещё анализировать задачу с объёмным распределением зарядов, не только на границе области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение06.03.2023, 16:34 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Dmitriy40

(2D-3D)

Dmitriy40 в сообщении #1584420 писал(а):
Кстати конфигурация со всеми зарядами на окружности/сфере тоже является локальным минимумом (с учётом границы окружности/сферы) так как на каждый заряд действует сила наружу окружности/сферы и соответственно ни один из них не может вытолкнуться внутрь.


Тут опять неверная аналогия окружность - сфера.
Попробую теперь с формулами.

1. 3D
Потенциал в областях, свободных от зарядов, должен удовлетворять уравнению Лапласа:
$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0$ (1)

В центрально симметричном случае решением будет $\varphi \sim \frac{1}{r}$ (2)

2. 2D корректно.

В случае 2D уравнение Лапласа долно быть переписано для двух размерностей:
$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0$ (3)

И решение в центрально симметричном случае будет уже $\varphi \sim \ln(r)$ (4)

Если использовать именно такой потенциал в 2D случае, то будет полная аналогия с 3D:
а) все заряды "свалятся" на окружность.
б) в центре для конечного количества зарядов будет неустойчивваое равновесие.
в) для бесконечного колчества зарядов (непрерывный случай) внутри окружности будет нулевое поле и безразличное равновесие.

3. 2D некорректно.
Вы же в плоском случае используете потенциал, который является решение 3D уравнения Лапласа.
Конечно, в этом случае будут возникать устойчивые конфигурации. Но тут и аналогия другая не "сфера - окружность". А "сфера - круг".

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение06.03.2023, 21:18 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
EUgeneUS

(Оффтоп)

В каком именно месте используется 3D потенциал или решение 3D уравнения? В формулах под корнем везде по два слагаемых. И раз все заряды в плоскости, то и все силы и потенциалы в той же плоскости. Это первое.
Второе, мне как-то фиолетово чему там должен удовлетворять потенциал в свободной области, я же заряды фиксирую и считаю какой они создадут потенциал, чему бы он ни удовлетворял.
Третье, вопрос устойчивости несколько отдельный и для простых конфигураций решаемый: вот к примеру график потенциала 4-х зарядов в углах квадрата, а вот его сечение вдоль оси $x$ (ровно между зарядами), прекрасно видимый минимум в центре должен означать устойчивость конфигурации с дополнительным зарядом в центре (аналогичная картина и для трёх зарядов равномерно по окружности).
Вот в 3D избавиться от "седловины" (канавы между зарядами) не удаётся, т.е. конфигурация неустойчивая, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение06.03.2023, 22:09 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Dmitriy40

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1584644 писал(а):
В каком именно месте используется 3D потенциал или решение 3D уравнения?


В формуле для потенциала, которая задаётся в условиях исходной задачи.
Вот тут:
мат-ламер в сообщении #1584244 писал(а):
Тогда потенциальная энергия их взаимодействия имеет вид $E(x_1,...,x_n)=\sum\limits_{i>j} \frac{1}{|x_i-x_j|}$ .


Dmitriy40 в сообщении #1584644 писал(а):
Третье, вопрос устойчивости несколько отдельный и для простых конфигураций решаемый: вот к примеру график потенциала 4-х зарядов в углах квадрата
, а вот его сечение вдоль оси $x$
(ровно между зарядами), прекрасно видимый минимум в центре должен означать устойчивость конфигурации с дополнительным зарядом в центре (аналогичная картина и для трёх зарядов равномерно по окружности).
Вот в 3D избавиться от "седловины" (канавы между зарядами) не удаётся, т.е. конфигурация неустойчивая, да.


Так я про то и говорю: использование потенциала вида $\varphi \sim \frac{1}{r}$ в плоском случае не будет являться аналогом 3D случая. В частности по этой причине: в плоском случае с таким потенциалом будут экстремумы, в том числе минимумы, а в 3D - только седловые точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальное расположение зарядов на сфере
Сообщение07.03.2023, 00:01 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
EUgeneUS
А, что аналогия 2D->3D неверна я уже понял. Думал Вы про другое.
Считаю мы достигли взаимопонимания и тему 2D прекращаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group