Экстремальное расположение зарядов на сфере

[alisa-lebovski]

мат-ламер в сообщении #1584301 писал(а):

Ибо минимизируемая функция невыпуклая и не всюду дифференцируема.

Попробуйте метод Нелдера-Мида, самое то. Для него есть стандартная программа в Python. Знакомые пользовались.

[manul91]

Min-Energy Configurations of Electrons On A Sphere
Уже для 16-ти зарядов две разные равновесные конфигурации.

[Dmitriy40]

(2D)

Ради интереса проверил изменение полной энергии при малом возмущении центрального заряда в 2D случае с зарядом в центре (остальные равномерно по окружности). И для $n=13$, и для $n=12$, и даже для $n=11$ что совсем уж удивительно, полная энергия выше чем в невозмущённом состоянии. Т.е. это выходит локальный минимум энергии. А для $n>11$ он является и глобальным минимумом (для 2D случая).
Попытался прямо посчитать приращение радиуса при малом возмущении центрального заряда, почему-то во всех случаях получил его увеличение. Это непонятно. Где-то похоже ошибся.

В том что конфигурация из 12-ти зарядов равномерно по окружности имеет большую энергию чем 11 зарядов равномерно по окружности и один в центре не вижу ничего удивительного, это же не пробный заряд в потенциальном поле зарядов с окружности.

В итоге так и не убеждён что любая система свободных зарядов (с конечным числом зарядов) трансформируется в распределение зарядов по сфере. Но к теме это уже как бы и не относится ...

[EUgeneUS]

Dmitriy40

(2D)

Теорема Ирншоу есть следствие уравнения Лапласа.

Для корректного перехода в 2D также нужно перейти к двумерному уравнению Лапласа.
А тогда потенциал будет другой (что-то типа потенциала бесконечно длинной равномерно заряженной нити).

Dmitriy40 в сообщении #1584334 писал(а):

проверил изменение полной энергии при малом возмущении центрального заряда в 2D случае с зарядом в центре (остальные равномерно по окружности). И для $n=13$, и для $n=12$, и даже для $n=11$ что совсем уж удивительно, полная энергия выше чем в невозмущённом состоянии. Т.е. это выходит локальный минимум энергии.

При возмущении в плоскости окружности так и будет. А при возмущении перпендикулярно плоскости окружности энергия уменьшится.

Dmitriy40 в сообщении #1584334 писал(а):

А для $n>11$ он является и глобальным минимумом (для 2D случая).

А это сомнительно. Для достаточно большого $N$ распределение, близкое к равномерному (например, в узлах треугольной решётки), даст полную энергию меньшую, чем распределение по окружности и один заряд в центре.

(2D дополнение)

Вот тут.
Рассматривается задача о распределении заряда на плоском металлическом диске.
Да, распределение получается далёким от равномерного, с явным и сильным "перекосом" - на краях сильно больше, чем в центре.
Однако, для больших $N$ распределение зарядов близко к равномерному равновесному распределению зарядов даст общую энергию меньше, чем распределение заряда только по краю.

[Ende]

мат-ламер
Замечание за неправильное оформление гиперссылок (исправил). Длинные URL нужно прятать в тег:

[url=...]текст[/url]

Иначе они ломают верстку.

[Dmitriy40]

(2D)

EUgeneUS в сообщении #1584363 писал(а):

При возмущении в плоскости окружности так и будет.

А других возмущений в 2D и не бывает. Странно что выходит для любых $n>3$ заряд в центре является локальным минимумом энергии (и устойчивой конфигурацией если считать что сила направлена по градиенту потенциала) и значит при симуляции надо аккуратно проверять его на глобальность. При $n<4$ в центре не минимум, а седловина.

EUgeneUS в сообщении #1584363 писал(а):

А это сомнительно.

Да, это я оговорился, имел в виду что для $n>11$ заряд в центре выгоднее чем все по окружности. Разумеется глобальный минимум возможен при совсем других конфигурациях, выше об этом уже говорил.

EUgeneUS в сообщении #1584363 писал(а):

Рассматривается задача о распределении заряда на плоском металлическом диске.

Эту задачу с решением я много где нашёл. Но нас то интересовал не металлический диск, не проводник! И конечное и малое (относительно бесконечного) количество зарядов. Это кардинально другая задача и сходятся они лишь при $n=\infty$.

-- 05.03.2023, 16:00 --

(Если заряды не только на границе)

Кстати конфигурация со всеми зарядами на окружности/сфере тоже является локальным минимумом (с учётом границы окружности/сферы) так как на каждый заряд действует сила наружу окружности/сферы и соответственно ни один из них не может вытолкнуться внутрь.
мат-ламер, так что таки придётся учитывать наличие локальных минимумов и как-то из них выбираться или проверять много разных начальных конфигураций. Конечно если всё ещё анализировать задачу с объёмным распределением зарядов, не только на границе области.

[EUgeneUS]

Dmitriy40

(2D-3D)

Dmitriy40 в сообщении #1584420 писал(а):

Кстати конфигурация со всеми зарядами на окружности/сфере тоже является локальным минимумом (с учётом границы окружности/сферы) так как на каждый заряд действует сила наружу окружности/сферы и соответственно ни один из них не может вытолкнуться внутрь.

Тут опять неверная аналогия окружность - сфера.
Попробую теперь с формулами.

1. 3D
Потенциал в областях, свободных от зарядов, должен удовлетворять уравнению Лапласа:
$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0$ (1)

В центрально симметричном случае решением будет $\varphi \sim \frac{1}{r}$ (2)

2. 2D корректно.

В случае 2D уравнение Лапласа долно быть переписано для двух размерностей:
$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0$ (3)

И решение в центрально симметричном случае будет уже $\varphi \sim \ln(r)$ (4)

Если использовать именно такой потенциал в 2D случае, то будет полная аналогия с 3D:
а) все заряды "свалятся" на окружность.
б) в центре для конечного количества зарядов будет неустойчивваое равновесие.
в) для бесконечного колчества зарядов (непрерывный случай) внутри окружности будет нулевое поле и безразличное равновесие.

3. 2D некорректно.
Вы же в плоском случае используете потенциал, который является решение 3D уравнения Лапласа.
Конечно, в этом случае будут возникать устойчивые конфигурации. Но тут и аналогия другая не "сфера - окружность". А "сфера - круг".

[Dmitriy40]

EUgeneUS

(Оффтоп)

В каком именно месте используется 3D потенциал или решение 3D уравнения? В формулах под корнем везде по два слагаемых. И раз все заряды в плоскости, то и все силы и потенциалы в той же плоскости. Это первое.
Второе, мне как-то фиолетово чему там должен удовлетворять потенциал в свободной области, я же заряды фиксирую и считаю какой они создадут потенциал, чему бы он ни удовлетворял.
Третье, вопрос устойчивости несколько отдельный и для простых конфигураций решаемый: вот к примеру график потенциала 4-х зарядов в углах квадрата, а вот его сечение вдоль оси $x$ (ровно между зарядами), прекрасно видимый минимум в центре должен означать устойчивость конфигурации с дополнительным зарядом в центре (аналогичная картина и для трёх зарядов равномерно по окружности).
Вот в 3D избавиться от "седловины" (канавы между зарядами) не удаётся, т.е. конфигурация неустойчивая, да.

[EUgeneUS]

Dmitriy40

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1584644 писал(а):

В каком именно месте используется 3D потенциал или решение 3D уравнения?

В формуле для потенциала, которая задаётся в условиях исходной задачи.
Вот тут:

мат-ламер в сообщении #1584244 писал(а):

Тогда потенциальная энергия их взаимодействия имеет вид $E(x_1,...,x_n)=\sum\limits_{i>j} \frac{1}{|x_i-x_j|}$ .

Dmitriy40 в сообщении #1584644 писал(а):

Третье, вопрос устойчивости несколько отдельный и для простых конфигураций решаемый: вот к примеру график потенциала 4-х зарядов в углах квадрата
, а вот его сечение вдоль оси $x$
(ровно между зарядами), прекрасно видимый минимум в центре должен означать устойчивость конфигурации с дополнительным зарядом в центре (аналогичная картина и для трёх зарядов равномерно по окружности).
Вот в 3D избавиться от "седловины" (канавы между зарядами) не удаётся, т.е. конфигурация неустойчивая, да.

Так я про то и говорю: использование потенциала вида $\varphi \sim \frac{1}{r}$ в плоском случае не будет являться аналогом 3D случая. В частности по этой причине: в плоском случае с таким потенциалом будут экстремумы, в том числе минимумы, а в 3D - только седловые точки.

[Dmitriy40]

EUgeneUS
А, что аналогия 2D->3D неверна я уже понял. Думал Вы про другое.
Считаю мы достигли взаимопонимания и тему 2D прекращаю.