Эквивалентность "банаховых" норм

[mihaild]

ewert в сообщении #1582965 писал(а):

Это, скорее всего, теорема того же Банаха о непрерывном операторе.

А что за теорема? Знаю с похожим названием только теорему об обратном операторе.
И в процитированном виде утверждение точно доказать не получится, т.к. с аксиомой выбора оно просто опровержимо.

[artempalkin]

mihaild
Вот немного почитал книгу Tzafriri и Lindenstrauss. На первой же странице буквально написано:

Цитата:

A simple argument shows that $X$ is complete also with respect to $|||.|||$ and thus, by open mapping theorem, the norms $||.||$ and $|||.|||$ are equivalent.

Понятно, что пр-во Банахово относительно исходной нормы (об этом говорится выше). Насколько я могу понять из написанного, две "банаховы" нормы одного и того же пространства эквиваленты по некой теореме об открытом отображении https://en.wikipedia.org/wiki/Open_mapp ... l_analysis)
Может быть, эту теорему имеет в виду уважаемый ewert?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1583971 писал(а):

Насколько я могу понять из написанного, две "банаховы" нормы одного и того же пространства эквиваленты по некой теореме об открытом отображении

Там ещё одно свойство используется: что первая норма не превосходит вторую. В общем случае это не так.

[mihaild]

Т.е. точное утверждение такое: если
1) $(X, \|\cdot\|_1)$ банахово
2) $(X, \|\cdot\|_2)$ банахово
3) $\|x\|_1 \geq c \cdot \|x\|_2$ для какого-то $c > 0$
То $\|x\|_1 < d \cdot \|x\|_2$ для какого-то $d$.
Все условия 1-3 важны, при исключении любого из них появляются контрпримеры.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1583994 писал(а):

Т.е. точное утверждение такое: если
1) $(X, \|\cdot\|_1)$ банахово
2) $(X, \|\cdot\|_2)$ банахово
3) $\|x\|_1 \geq c \cdot \|x\|_2$ для какого-то $c > 0$

Да, я подозревал, что они не уточняют применимость теоремы, но имеют что-то в виду. Спасибо, попробую разобраться. А вы не могли бы, если это не очень сложно, указать контрпример (две неэквивалентные нормы) через аксиому выбора?

[mihaild]

Выше была подробная и простая конструкция от Mikhail_K. Но если хотите - можно и покрасивше (и аксиому выбора поглубже закопать).
1. Докажите, что если $X$ - банахово пространство, $A$ - линейная биекция $X$ в себя, то функция $f(x) = \|Ax\|$ задаёт банахову норму на $X$.
2. Докажите, что если $A$ неограничен, то эта норма не эквивалентна исходной.
3. Пусть $f$ - разрывный линейный функционал на $X$, $f(y) = 1$. Докажите, что оператор $Ax = x - 2f(x)y$ - разрывная линейная биекция $X$ в себя.

[krum]

mihaild в сообщении #1584022 писал(а):

. Докажите, что если $X$ - банахово пространство, $A$ - линейная биекция $X$ в себя, то функция $f(x) = \|Ax\|$ задаёт банахову норму на $X$.
2. Докажите, что если $A$ неограничен, то эта норма не эквивалентна исходной.

Это мне нравится больше чем преыдыдущий пример. Во-первых, это проще и аксиома выбора тут как раз не запрятана, а лежит на поверхности. А во-вторых, этот пример показывает, что в любом бесконечномерном банаховом пространстве можно устроить кучу неэквивалентных банаховых норм.