Перестановка через несокращаемые дроби

[kthxbye]

Пусть

$$f(n,k)=n\operatorname{mod} k, g(n,k)=\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$$

Пусть $T(n, k)$ это A072030. Здесь

$$T(n,k)\begin{cases} 0,&\text{если $n<1$ либо $k<1$;}\\ 1,&\text{если $n=k$;}\\ T(k,n),&\text{если $n<k$;}\\ T(k,n-k)+1,&\text{в противном случае.} \end{cases}$$

Пусть

$$R(n,k)=\begin{cases} 0,&\text{если $n<2$ либо $k\geqslant n$;}\\ 2^{g(n,k)-2},&\text{если $f(n,k)=0$;}\\ 2^{T(k-f(n,k), f(n, k)) + g(n, k) - 1} + R(k, f(n, k)),&\text{в противном случае.} \end{cases}$$

Гипотеза: совокупность значений $R(n,k)$ где $\frac{n}{k}$ - несокращаемая дробь, такая, что $n,k\in\mathbb{N}$, $n>k\geqslant 1$ является перестановкой натуральных чисел.

Можно ли это как-то доказать? Дополнительно хотелось бы узнать возможен ли относительно быстрый алгоритм для получения $R(n,k)$ без рекурсии и без использования $T(n,k)$?