Сходимость ряда

[arty1995]

$\sum\frac{{(-1)}^{n+1} \ln(n) \sin{\frac{50}{\sqrt{n+1}}}}{\sqrt[50] n}$

Всех приветствую. Сходимость данного ряда мне нужно установить. Точнее, знаю, что ряд сходится, но нужно определить, абсолютно или условно. Исследуя ряд из модулей, пришёл к выводу, что признак Даламбера не работает. Признаки сравнения пока что тоже не помогли, пробовал сравнивать с рядом $\sum\frac{\ln(n)}{\sqrt[50] n}$ и с рядом $\sum\frac{1}{\sqrt[50] n}$.

[bot]

Попробуйте вычеркнуть ${(-1)}^{n+1} \ln(n) \sin$

[arty1995]

Так я пробовал сравнивать с таким рядом, где 1 вместо числителя

[мат-ламер]

arty1995 в сообщении #1581816 писал(а):

Так я пробовал сравнивать с таким рядом, где 1 вместо числителя

Непонятный ход вашей мысли. Обоснуйте.

[arty1995]

Мне нужно узнать, сходится ряд абсолютно или условно. Для этого я должен рассмотреть такой же ряд, только без минус единицы в степени, чисто логарифм, синус и корень.
Я попробовал с помощью признака Даламбера узнать сходимость этого ряда. Получил 1, не помогло значит. Сравнивал с рядом $\sum\frac{1}{\sqrt[50] n}$, который расходится, не помогло: предельный признак сравнения даёт 0, а простой признак сравнения не помогает, потому что числитель изначального ряда не больше 1. То же самое, если сравнивать с расходящимся рядом $\sum\frac{\ln(n)}{\sqrt[50] n}$: предельный признак сравнения тоже даст 0, а простой признак сравнения не помогает, потому что синус стремится к 0 и идёт уменьшает дробь.

[bot]

arty1995 в сообщении #1581816 писал(а):

Так я пробовал

Нет, Вы вычеркнули в числителе всё, кроме одной из трёх единиц.

[Утундрий]

arty1995
Посмотрите «Сходимость ряда, логарифм в знаменателе»

[arty1995]

bot в сообщении #1581821 писал(а):

arty1995 в сообщении #1581816 писал(а):

Так я пробовал

Нет, Вы вычеркнули в числителе всё, кроме одной из трёх единиц.

К сожалению, не понимаю, что вы имеется в виду и с чем предлагаете сравнить

[bot]

arty1995 в сообщении #1581831 писал(а):

не понимаю, что вы имеется в виду

Мной имеется в виду следующее:
вычёркивая ${(-1)}^{n+1} $, уничтожим знак,
вычёркивая $\ln(n) $, получим оценку снизу,
вычеркнуть $ \sin$ позволит эквивалентность $ \sin x\sim x\,\,(x\to 0)$

[мат-ламер]

arty1995 в сообщении #1581816 писал(а):

Так я пробовал сравнивать с таким рядом, где 1 вместо числителя

Если вы вычеркнули синус, то это значит, что надо вычеркнуть знак синуса, а не всё выражение с синусом. $\sqrt{n+1}$ в знаменателе надо оставить.

[arty1995]

Да понял теперь, все получилось) Спасибо вам за подсказки!

[ewert]

Между прочим, даже с условной сходимостью тут есть проблема. Нужна ведь монотонность. Да, всем ежам понятно, что она есть; но вот попробуйте-ка формально её доказать.

(ну это стандартная проблема с подобного рода задачками; часто от неё очень легко вполне формально отмахнуться, но не в этом случае)

[мат-ламер]

ewert в сообщении #1582966 писал(а):

тут есть проблема. Нужна ведь монотонность. Да, всем ежам понятно, что она есть; но вот попробуйте-ка формально её доказать.

А если от дискретной переменной перейти к непрерывной и взять производную?

[Null]

Часто если $a\sim b$, то $a=b+o(c)$ и $\sum(a-b)=\sum o(c)$ -сходиться абсолютно.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #1582996 писал(а):

и взять производную?

Это можно. Но там тоже небольшая морока (спасает то, что логарифм всё-таки растёт).

(я, конечно, занудствую; никто подобными вопросами, естественно, не задаётся, хотя формально вроде и надо бы)