Оценка |cf(t)| по mgf(t) в окрестности нуля

[_hum_]

Пусть

$$ \mathrm{cf}(t) = \int e^{i t x} dP(x), t \in \mathbb{R}, \quad\quad \mathrm{mgf}(t) = \int e^{t x} dP(x), |t| \leq r $$

$$соответственно, характеристическая функция (х.ф.) некоторого распределения вероятностей $P$ и производящая функция моментов (п.ф.м.). В этом случае известно, что характеристическая функция полностью определяется производящей функцией моментов (п.ф.м. задает моменты распределения + моменты однозначно определяют распределение -> распределение однозначно определяет х.ф.).
По логике, зная п.ф.м., мы должны иметь информацию о поведении х.ф. на всей прямой. Но я никак не могу найти этой связи. В частности, мне нужно иметь возможность оценить сверху модуль x.ф. при $t \rightarrow \infty$ через характеристики $\mathrm{mgf}$.

p.s. Нашел, что в этой ситуации обе функции являются аналитическими, и могут быть продолжены в соответствующие полосы комплексной плоскости. И более того, если распределение вероятностей имеет конечный носитель, то аналитическое продолжение х.ф. является целой функцией. Поэтому еще сильнее напрашивается какая-то формула комплексного анализа, где устанавливается связь между аналитическими продолжениями. Но почему-то я не могу ничего подходящего найти :(
Буду благодарен за помощь.

[ipgmvq]

По оценке в окрестности нуля через моменты возможно Вам будет интересна глава 3.3.3 здесь и результат теоремы 3.3.18 (страница 142 файла PDF/страница 134 по книге).

[_hum_]

ipgmvq
спасибо, но как-то я вот так сразу не вижу, как из указанного результата получить искомую оценку модуля х.ф.