Покрывающие последовательности

[Утундрий]

Рискну предположить, что все неотрицательные целые числа можно одно-однозначно покрыть следующими двумя последовательностями

$$a_{k,i}=\frac{4^k-1}{3}+2i \cdot 4^k, \ \ b_{m,j}=\frac{10 \cdot 4^m-1}{3}+j \cdot 4^{m+1}$$

где индексы $i,j,k,m$ независимо принимают значения $0,1,2,3,\dots$.

Это выползло из одной задачи и представляет собой результат наблюдения за числовым рядом. Для малых чисел покрытие вроде бы работает, но интересно знать, работает ли оно всегда?

[svv]

Запишем так:
$\begin{array}{l}a_{k,i}=i \cdot 2^{2k+1}+\dfrac{4^k-1}{3}\\[1.4ex]b_{k,i}=i \cdot 2^{2k+2}+\dfrac{10 \cdot 4^k-1}{3}\end{array}$
Рассмотрим двоичную запись левой части.
Её младшие $2k+1$ (для $a_{k,i}$) или $2k+2$ (для $b_{k,i}$) разрядов назовём суффиксом. Суффикс зависит только от $k$. Старшие же разряды (то, что останется после отделения суффикса) — это просто двоичная запись $i$. (В обеих формулах второе слагаемое меньше множителя при $i$, поэтому двоичная запись второго слагаемого прекрасно укладывается в длину суффикса.)
Таблица суффиксов:

$$\begin{tabular}{c|l|l} $k$ & Суффикс $a_{k,i}$ & Суффикс $b_{k,i}$ \\ \hline $0$ & $0$ & $11$ \\ $1$ & $001$ & $1101$ \\ $2$ & $00101$ & $110101$ \\ $3$ & $0010101$ & $11010101$ \\ $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \end{tabular}$$

Остаётся
1) доказать закономерность построения суффиксов, очевидную из таблицы;
2) доказать, что в двоичной записи любого натурального числа (с дописанными слева нулями при необходимости) можно однозначно выделить суффикс из таблицы. Но это очевидно: последовательность $...010101$ (читаемая с конца записи справа налево) нарушится либо нулём вместо единицы, либо единицей вместо нуля.

[svv]

Например, дано число $123456789$. В двоичной системе $11101011011110011010{\color{magenta}0010101}$, где цветом выделен суффикс. По таблице суффикс соответствует $k=3$ и формуле $a_{k,i}$. Старшие разряды — это двоичная запись числа $i=964506$. Значит, $123456789=a_{3,964506}$.

[Утундрий]

svv
Наверное это то, что нужно, но у меня пока нет времени, чтобы над этим подумать.