Сумма размерностей всех пространств p-форм

[Ascold]

Здравствуйте! В книге Шутца "Геометрические методы современной физики" есть задача 4.7: "Покажите, что сумма размерностей всех пространств p-форм ($p \leq n$) равна $2^n$ ".
Приводится решение: "по формуле бинома Ньютона

$$(1+1)^n=\sum_{p=0}^n C_p^n.$$

Обратите внимание, что в сумме есть член с $p=0,$ отвечающий одномерному пространству нуль-форм."

Непонятно, каков смысл в возведении в n-ю степень суммы (1+1), кроме того, что такое вообще "сумма размерностей пространств p-форм"? Пусть есть одномерное пространство - в нём возможны функции и 1-формы, итого 1+1=2 - сходится с ответом. В двумерном тоже сходится, а в трёхмерном у меня получается, что имеются 0, 1,2,3-формы, т.е. сумма размерностей 1+1+2+3=7, а не 8.
Что у меня не так с пониманием этой суммы?

[krum]

ну и какова размерность пространства $p-$форм в $\mathbb{R}^n$?

[Ascold]

krum в сообщении #1582518 писал(а):

ну и какова размерность пространства $p-$форм в $\mathbb{R}^n$?

Максимальная $p=n$, ну и кроме того, существуют все меньшие размерности + одномерные нуль-формы(функции) - я так думаю, но Шутц думает как-то иначе...

[krum]

Поглядите на базис в пространства $p-$форм, решите простую комбинаторную задачу. Сколько элементов в базисе?

[мат-ламер]

Ascold в сообщении #1582517 писал(а):

а в трёхмерном у меня получается, что имеются 0, 1,2,3-формы, т.е. сумма размерностей 1+1+2+3=7, а не 8.

У меня тут получилась нижняя строка треугольника Паскаля. Где-то в расчётах, наверное, ошиблись. Вы их поподробнее распишите и выложите сюда.

[Ascold]

krum в сообщении #1582520 писал(а):

Поглядите на базис в пространства $p-$форм, решите простую комбинаторную задачу. Сколько элементов в базисе?

Благодарю, кажется понял. Если есть произвольная р-форма A, то

$$A=A_{i_1,..,i_p}\omega^{i_1}\wedge...\wedge\omega^{i_p},$$

значит, всего различных $\omega^{i_1}\wedge...\wedge\omega^{i_p$} будет $C_p^n$ штук, ну и просуммировать их от 0 до n - получится как в книжке.

[svv]

Совсем ленивое решение. Пусть $(\omega^k)$ — базисный набор $1$-форм.
У нас есть $n+1$ ящиков с надписями "базисные $0$-формы", "базисные $1$-формы", ... "базисные $n$-формы".

Возьмём выражение $\omega^1\wedge...\wedge\omega^n$ и будем в нём всеми способами включать и выключать отдельные множители. Например, если включены $\omega^2,\omega^3,\omega^7,$ а остальные выключены, получается $3$-форма $\omega^2\wedge\omega^3\wedge\omega^7$, и мы бросаем её в соответствующий ящик. Когда переберём все $2^n$ комбинаций, в $p$-м ящике будет столько форм, какова размерность пространства $p$-форм, но нам-то нужно лишь общее количество.