Касательно одной системы уравнений в частных производных

[krum]

Утундрий в сообщении #1582373 писал(а):

Слишком абстрактно.

а, ну дело Ваше

Утундрий в сообщении #1582077 писал(а):

асно решаются и для всего лишь непрерывных $f$. Будет ли в этом случае какой-то аналог $(3)$ и можно ли считать найденную $b$ неким "слабым" решением $(1)$?

а этот вопрос из академического любопытства или за ним что-то содержательное стоит?

[Утундрий]

Из любопытства, причём праздного. Обычно встречаются функции достаточно хорошие.

[krum]

Весьма интересный нетривиальный вопрос.

[svv]

Утундрий
Вы, кажется, читаете по-французски. Тогда вот, пункт formulation «fonctionnelle».

[Утундрий]

svv
С формулировкой на языке дифференциальных форм я тоже знаком. Дело не в теореме, я охотно верю, что она верна и постоянно ею пользуюсь. Но наткувшись в сети на столь элементарное доказательство, не мог не запомнить его идею. На днях я решил восстановить его по памяти и напоролся на нечто, напоминающее порочный круг. Отсюда и тема.

[svv]

(Оффтоп)

Ок, понятно. Я не смог устоять против желания показать этот текст, когда увидел там в формулировке практически Вашу формулу (3):
$\frac{\partial B_{h}^{k}}{\partial x^{l}}+\sum\limits_{j=1}^{n-p}\frac{\partial B_{h}^{k}}{\partial v^{j}}B_{l}^{j}=\frac{\partial B_{l}^{k}}{\partial x^{h}}+\sum\limits_{j=1}^{n-p}\frac{\partial B_{l}^{k}}{\partial v^{j}}B_{h}^{j}$

[Утундрий]

Чтобы подытожить тему, повторю сам рецепт.

Итак, чтобы найти решение задачи

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{,1}(x,y)&=&f_1 (x,y;u(x,y))\\ u_{,2}(x,y)&=&f_2 (x,y;u(x,y)) \\ u(0,0)&=&0 \\ |x| < \varepsilon ,&& |y| < \delta \end{array} \right. \eqno (1) $$

Нужно последовательно решить две задачи Коши

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a'(x)&=&f_1 (x,0;a(x))\\ a(x)&=&0 \\ |x| < \varepsilon && \end{array} \right. \eqno (2) $$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} b_{,2}(x,y)&=&f_2 (x,y;b(x,y)) \\ b(x,0)&=&a(x)\\ |x| < \varepsilon ,&& |y| < \delta \end{array} \right. \eqno (3) $$

И не забыть проверить условие

$$(f_{2,1}+f_{2,3} f_1-f_{1,2}-f_{1,3} f_2)( x,y,b(x,y)) =0 \eqno (4)$$

Если условие $(4)$ выполнено, то $b(x,y)$ является решением задачи $(1)$.

Процедура естественным образом обобщается на произвольное число переменных, только увеличивается число требующих проверки условий, которые, как и раньше, получаются из требования равенства смешанных производных в силу системы.

Добавлю, что это, пожалуй, единственный способ, позволяющий, не особо любя свой когнитивный орган, взять и построить решение численно. Чтобы на него, скажем, полюбоваться.

[пианист]

В $ (2)$ $a(0)=0$