Усреднение произведения скалярных произведений

[ptor00]

Добрый день, вопрос из Ландау, том 6, параграф 11. Для вычисления интеграла по телесному углу применяется усреднение подынтегрального выражения по всем возможным $\vec{n}$ ($\vec{n}$ - единичный вектор, совпадающий по направлению с $\vec{r}$). Для этого нужно усреднить выражение вида ($\vec{a}$$\vec{n}$)($\vec{b}$$\vec{n}$), где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - постоянные векторы.

Далее записывается: $\overline{(\vec{a}\vec{n})(\vec{b}\vec{n})} = \frac{1}{3}\delta_{ik}a_ib_k.

Не могу разобраться, как этот переход осуществляется. Буду благодарен за разъяснения.

[zykov]

$\overline{(\vec{a}\vec{n})(\vec{b}\vec{n})}=\overline{(a_i n_i)(b_k n_k)}=\overline{(n_i n_k)(a_i b_k)}=\overline{(n_i n_k)}(a_i b_k)=\frac{1}{3}\delta_{ik}a_ib_k$

[Cos(x-pi/2)]

Можно ещё пояснить, как по-быстрому получается равенство $\overline{(n_i n_k)}=\frac{1}{3}\delta_{ik}.$

Замечаем, что $n_i n_k$ есть тензор второго ранга, зависящий от направления единичного вектора $\vec{n}.$ После усреднения этого тензора по направлениям вектора $\vec{n}$ должен получиться тензор, не зависящий от направлений, т.е. инвариантный к поворотам координатных осей. Единственное возможное выражение для инвариантного тензора второго ранга есть $c\,\delta_{ik},$ где $c$ - скаляр. Следовательно:

$$\overline{(n_i n_k)}=c\,\delta_{ik}$$

Для того чтобы найти $c,$ вычисляем шпур тензора в левой и в правой стороне этого равенства. В левой стороне шпур есть

$$\overline{(n_i n_i)}=\overline{n^2_x + n^2_y + n^2_z}=1,$$

это просто в квадрате величина единичного вектора. Шпур в правой стороне: $c\, \delta_{ii}=c\, 3.$ Таким образом, $1=3c,$ то есть: $c=\frac{1}{3}.$

[zykov]

Да можно и просто по сфере проинтегрировать.
Для недиагональных, сначала по окружности в плоскости $ik$, потом вдоль третьего направления.
По окружности получим ноль (интегрируем $\sin \varphi \cdot \cos \varphi$, или сразу замечаем антисимметрию относительно отражения от осей). Значит и в итоге ноль.
Для диагональных так же по окружности интегрируем. Там константа, так что будет длина окружности. Потом по направлению оси $i$.
Будет $\frac{2}{4\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 \varphi)\cdot(2\pi\sin \varphi)\;d\varphi=-\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 \varphi)\;d(\cos \varphi)=\int_0^1 x^2 \; dx=\frac{x^3}{3}\big\rvert_0^1=\frac13$.

[ptor00]

zykov Cos(x-pi/2)
Спасибо