2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 15:48 


21/03/11
200
Листая учебник Б.Т. Поляка "Введение в оптимизацию" я увидел там на стр.15 следующее определение дифференцируемости в точке, которое меня несколько озадачило:
Цитата:
Функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$, если найдется такой вектор $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$, что для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$ выполняется равенство
$f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \langle \mathbf{a},\mathbf{h} \rangle + o(\mathbf{h}). \qquad\qquad\qquad\qquad(*)$

А именно, меня в нем озадачила фраза "для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$". Поскольку в известных мне учебниках матанализа требовалось лишь, чтобы вышеприведенное равенство $(*)$ выполнялось для всех $\mathbf{h} из некоторой малой окрестности точки $\mathbf{x}_0$. В связи с этим возникло два вопроса:
1) предположим, что для некоторой функции $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ удалось показать, что равенство $(*)$ выполняется для всех $\mathbf{h} из некоторой малой окрестности точки $\mathbf{x}_0$. Неужели этого недостаточно для того, чтобы заявить о дифференцируемости функции $f$ в точке $\mathbf{x}_0$ ?
2) будет ли корректным следующее очевидное обобщение вышеприведенного определения на случай вещественнозначной функции с областью определения $\operatorname{dom} f \subset \mathbb{R}^n$:
Функция нескольких переменных $f(\mathbf{x})$ называется дифференцируемой в точке $\mathbf{x}_0 \in \operatorname{int}\operatorname{dom} f$, если найдется такой вектор $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$, что для всех $\mathbf{h} \in \operatorname{dom} f$ выполняется равенство
$f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \langle \mathbf{a},\mathbf{h} \rangle + o(\mathbf{h}).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
give_up в сообщении #1582191 писал(а):
меня в нем озадачила фраза "для всех $h \in \mathbb{R}^n$

1) Это не должно Вас заботить просто существование достаточно малой окрестности включено в равенство $f({x}_0 + h) = f(x_0) + \langle a,h  \rangle + o(h)$
2) аккуратнее надо: ... что для всех $h\in \mathbb{R}^n$ выполнена импликация
$$x_0+h\in  \operatorname{dom} f\Rightarrow f(x_0 + h) = f(x_0) + \langle a,h  \rangle + o(h)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Сформулировано криво. «$o(h)$ для всех $h$» (как и для $h$ из окрестности) — это бессмыслица. $o(\cdot)$ определяется через предел, поэтому нужно указывать, куда стремится $h$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
give_up в сообщении #1582191 писал(а):
А именно, меня в нем озадачила фраза "для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$".

Поляк для простоты предполагает, что функция определена всюду, полагая, что заинтересованный читатель в случае необходимости это определение переделает под себя для варианта, когда функция определена не всюду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 17:55 


21/03/11
200
bot в сообщении #1582202 писал(а):
1) Это не должно Вас заботить просто существование достаточно малой окрестности включено в равенство $f({x}_0 + h) = f(x_0) + \langle a,h  \rangle + o(h)$

Попробую выразиться чуть более подробно, что меня тревожит. Мне понятно, что если равенство $(*)$ выполняется для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$, то оно будет выполняться и для всех векторов $\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}$ из некоторой окрестности $U_\delta(\mathbf{x}_0)$ точки $\mathbf{x}_0$ (можно взять радиус этой окрестности $\delta$ сколько угодно большим).
Вопрос в обратном утверждении - пусть нам удалось показать для некоторой функции $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ (здесь и далее под этим обозначением подразумеватся, что функция определена всюду на $\mathbb{R}^n$), что для нее равенство $(*)$ выполняется для всех векторов $\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}$ из некоторой окрестности $U_\delta(\mathbf{x}_0)$. Учебники матанализа утверждают, что этого уже достаточно, чтобы назвать эту функцию $f$ дифференцируемой в точке $\mathbf{x}_0$. Зачем же тогда Поляк в своем определении дифференцируемости в точке требует выполнение равенства $(*)$ для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$, ведь это требование по моему мнению более сильное.
Хотя появилась сейчас у меня гипотеза, что я ошибаюсь, и это требование не является более сильным. То есть что утверждение "функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ удовлетворяет равенству $(*)$ для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$" эквивалентно утверждению "функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ удовлетворяет равенству $(*)$ для всех для всех векторов $\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}$ из некоторой малой окрестности $U_\delta(\mathbf{x}_0)$." Если это так, тогда вопросов больше нет.
RIP в сообщении #1582206 писал(а):
Сформулировано криво. «$o(h)$ для всех $h$» (как и для $h$ из окрестности) — это бессмыслица. $o(\cdot)$ определяется через предел, поэтому нужно указывать, куда стремится $h$.

Согласен, кривовато. Стоило добавить фразу "при $\mathbf{h} \to \mathbf{0}_n$", но видимо Поляк посчитал, что читатель тут должен сам вспомнить эту фразу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Упоминание «для всех $\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n$» или «для всех $\mathbf{h}\in U_{\delta}(\mathbf{0})$» (не $\mathbf{x}_0$, поскольку $\mathbf{h}$ — это приращение) вообще излишне. Равенство с $o(\cdot)$ подразумевает для каждого $\varepsilon>0$ выполнение неравенства в некоторой окрестности (зависящей от $\varepsilon>0$). Можно упомянуть, что функция определена в некоторой окрестности, но в определении уже сказано, что функция определена всюду (если, конечно, в учебнике не разрешаются частично определённые функции).

-- Сб 2023-02-18 19:35:55 --

То есть равенство типа $f(x)=o(1)$ при $x\to x_0$ ничего не говорит о значениях функции в отдельных точках (или даже на множествах, для которых точка $x_0$ внешняя). Оно описывает поведение функции при стремлении аргумента к $x_0$. Поэтому фраза типа «для всех $x$ верно $f(x)=o(1)$» бессмысленна. Это всё равно что писать «для всех $x$ верно $\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=0$».

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 20:57 


21/03/11
200
RIP
Боюсь не совсем Вас понял. Вот я смотрю на определение символа о-малое из учебника по матанализу, и оно гласит следующее:
Цитата:
Пусть функции $g$ и $f$ определены на проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{U}_\delta(a)$. Пишут, что $g=o(f)$ при $x \to a$, если:
$1) ~ g(x) = \alpha(x)f(x), ~~ \forall x \in \stackrel{\circ}{U}_\delta(a);$
$2) \displaystyle \lim_{x \to a, \, x \in \stackrel{\circ}{U}_\delta(a)} \alpha(x) = 0.$

Видно что как в п.1, так и в п.2, есть зависимость от $\delta$.
Если вернуться к определению дифференцируемости, то получаем две ситуации. В определении Поляка равенство $(*)$ гласит следующее:
$1) f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle = \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|, ~~ \forall \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$
$2) \displaystyle \lim_{\mathbf{h} \to \mathbf{0}_n, \, \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n} \alpha(\mathbf{h}) = 0.$

А определение дифференцируемости в точке, приводимое в большинстве учебников по матанализу, эквивалентно следующим двум пунктам:
$1') f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle = \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|, ~~ \forall \mathbf{h} \in U_\delta(\mathbf{0}_n)$
$2') \displaystyle \lim_{\mathbf{h} \to \mathbf{0}_n, \, \mathbf{h} \in U_\delta(\mathbf{0}_n)} \alpha(\mathbf{h}) = 0.$
Где $U_\delta(\mathbf{0}_n)$ - некоторая малая окрестность нуля.

азличие между $2)$ и $2')$ действительно не особо важно и несущественно (так как на то, что происходит вдали от предельной точки нам наплевать). Однако, различие между $1)$ и $1')$ мне кажется более существенным, потому что оно определяет, насколько далеко от точки $\mathbf{x}_0$ равенство $f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle + \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|$ будет оставаться справедливым для дифференцируемой в точке $\mathbf{x}_0$ функции. Поляк говорит, что это равенство будет справедливо даже если отойти на любое расстояние от точки $\mathbf{x}_0$ (допускается взять огромную величину $\mathbf{h}$). А учебники по матанализу говорят, что далеко от точки $\mathbf{x}_0$ уходить нельзя, нужно оставаться в некоторой ее малой окрестности (насколько малой - непонятно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Равенство $f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle = \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|$ однозначно задаёт функцию $\alpha$ (кроме $\alpha(\mathbf{0})$). При этом значения $\alpha(\mathbf{h})$ при $h\notin U_{\delta}(\mathbf{0})$ никак не влияют на выполнение второго свойства. Если у нас есть 1', то мы просто доопределим $\alpha$ на всё $\mathbb{R}^n$ с помощью 1. При этом 2 также будет выполнено, потому что 2 эквивалентно 2'.

-- Сб 2023-02-18 21:44:18 --

Кстати, определение о-малого сформулировано неверно. Равенство $g(x)=\alpha(x)f(x)$ должно выполняться в какой-то проколотой окрестности $\mathring{U}_{\delta_1}(a)$, при этом $\delta_1$ не обязано равняться $\delta$ (то есть равенство может выполняться в меньшей окрестности, чем та, на которой определены функции).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 21:58 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
give_up в сообщении #1582247 писал(а):
оно гласит следующее:
Дык, неправильно оно гласит. Правильно так:
Пусть $f$ и $g$ определены на некоторой проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{U}_\delta(a)$. Тогда пишут, что $g=o(f)$ при $x\rightarrow a$, если существует такая проколотая окрестность $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$, где $\varepsilon$, вообще говоря, меньше $\delta$, и функция $\alpha(x)$, определенная всюду на $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$, что $g(x)=\alpha(x)f(x)$ на $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$ , и $\alpha(x)\rightarrow0$ при $x\rightarrow a$.

А в каком это учебнике такое ?

-- 18.02.2023, 20:59 --

А, пока я свое писал, коллега уже заметил... Ладно, пойду отсюда, без меня большевики обойдутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 22:28 


21/03/11
200
RIP
Спасибо!
RIP в сообщении #1582251 писал(а):
Если у нас есть 1', то мы просто доопределим $\alpha$ на всё $\mathbb{R}^n$ с помощью 1.

Думаю действительно так и делают, если нужно записать равенство $f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle = \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|$ вдали от точки $\mathbf{x}_0$. В общем, получилось что определение дифференцируемости из учебника Поляка и из учебников матанализа (через окрестность) эквивалентны, как я и надеялся.

RIP в сообщении #1582251 писал(а):
Кстати, определение о-малого тоже сформулировано криво. Равенство $g(x)=\alpha(x)f(x)$ должно выполняться в какой-то проколотой окрестности $\mathring{U}_{\delta_1}(a)$, при этом $\delta_1$ не обязано равняться $\delta$ (то есть равенство может выполняться в меньшей окрестности, чем та, на которой определены функции).

Согласен, я поторопился при его записи. Но думаю, что эта деталь не меняет вышеупомянутое утверждение, то есть если заменить в выражениях 1' и 2' константу $\delta$ на константу $\delta_1 < \delta$, то все так же функцию $\alpha(\mathbf{h})$ из равенства 1' можно будет доопределить на все $\mathbb{R}^n$, и получить в итоге равенство 1. Что мне и нужно было.

Разве что в завершение осталось упомянуть маленькую деталь, что в контексте определения дифференцируемости функцию $\alpha(\mathbf{h})$ дополнительно доопределяют в нуле нулем, то есть полагают $\alpha(\mathbf{0}_n) = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение18.02.2023, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
give_up в сообщении #1582265 писал(а):
Но думаю, что эта деталь не меняет вышеупомянутое утверждение
Но она делает определение неверным. Если рассмотреть функции (определённые на $\mathbb{R}$)
$$f(x)=\begin{cases}1,&|x|<1,\\0,&|x|\geqslant1,\end{cases}\qquad
g(x)=\begin{cases}0,&|x|<1,\\1,&|x|\geqslant1,\end{cases}$$
то $g(x)=o(f(x))$ при $x\to0$, однако нельзя подобрать функцию $\alpha$, чтобы равенство $g(x)=\alpha(x)f(x)$ выполнялось при всех $x\ne0$.

Возможность доопределить $\alpha$ на всё $\mathbb{R}^n$ в определении дифференцируемости не по существу. Функция $\alpha$ должна быть определена только в некоторой проколотой окрестности нуля, согласно правильному определению $o(\cdot)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение19.02.2023, 06:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
bot в сообщении #1582202 писал(а):
аккуратнее надо
Исправляя лплошность, написал глупость :oops:
Разумется, равенство с о-малым - это не равенство, а предельный переход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение19.02.2023, 08:49 


21/03/11
200
RIP в сообщении #1582266 писал(а):
Возможность доопределить $\alpha$ на всё $\mathbb{R}^n$ в определении дифференцируемости не по существу.

Ну почему же не по существу, в контексте обсуждаемого определения дифференцируемости этот момент и является самым важным, поскольку позволяет показать, что из стандартного определения дифференцируемости в точке следует определение Поляка. А в какой именно окрестности нуля изначально (до доопределения) была определена функция $\alpha(\mathbf{h})$ - вот это мне кажется не особо важным.

-- Вс фев 19, 2023 09:41:15 --

Кстати, определение Поляка похоже весьма популярно в учебниках по оптимизации. Вот, например, аналогичное определение дифференцируемости в точке из книги Нестерова "Методы выпуклой оптимизации" (каноническая книга в этой области). Правда там оно, судя по формулировке, является скорее не определением, а необходимым условием:
Цитата:
Пусть функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ (определенная на всем пространстве $\mathbb{R}^n$) дифференцируема в точке $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$. Тогда для всех $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ имеем:
$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) + \langle \nabla f(\mathbf{x}_0),\mathbf{x} - \mathbf{x}_0 \rangle + o(\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\|),$
где $o(r)$ - некоторая функция от $r \ge 0$, удовлетворяющая условиям $\displaystyle \lim_{r \downarrow 0} \frac{1}{r} o(r) = 0, ~~ o(0) = 0.$

Отмечу, что в этом утверждении снова видим фразу "для всех $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$" (по сути эквивалентную фразе Поляка "для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$", так как $\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \mathbf{h}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение19.02.2023, 09:51 
Аватара пользователя


11/11/22
304

(Оффтоп)

give_up в сообщении #1582293 писал(а):
Ну почему же не по существу,

Потому, что не по существу. Содержания определений не видите. И ни кто Вам это не объяснит, потому, что такая штука как "способности" -- это объективная реальность. А если и объяснит, то Вы преткнетесь в чем-нибудь еще, что другие люди со способностями проскакивают после 5 минутного обдумывания. Я поэтому и не стал с Вами дальше препираться в другой ветке. Смысла нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение19.02.2023, 10:38 


21/03/11
200

(Оффтоп)

krum
О, а я все ждал, когда же вы все-таки выскажетесь. Раз уж вы не смогли удержаться от нападок на меня и в этой теме, то напомню, что вся ваша "помощь" в прошлой моей ветке свелась к следующему:
1) Сделали необоснованный тезис о том, что якобы моя задача не разобраться с учебниками (определениями), а в чем-то еще. Обоснования этого Вашего тезиса я так и не услышал. Интересно будет услышать, в чем именно там состояла моя задача.
2) На основании этого необоснованного тезиса несколько раз настойчиво просили удалить тему (хотя как минимум двум уважаемым участникам этого форума, пользователям мат-ламер и vpb она показалась интересной и достойной обсуждения). Моя просьба указать, какие именно правила форума я там нарушил, была оставлена Вами без ответа. Неоднократные безосновательные просьбы удалить мою тему вызывают у меня вопросы к вашему поведению на данном форуме.
3) Начали уводить тему в оффтоп, начав рассматривать понятие непрерывной дифференцируемости на замыкании множества, хотя в стартовом посте было очевидно, что все точки множества $S$ (в том числе граничные) являются внутренними точками области определения функции и замыкание $S$ отношения к делу не имеет.
4) Перепутали учебник Бесова с учебником какого-то Полежаева
5) сразу ушли из темы как только я Вам показал, что мое определение совпадает с определением Бесова. Если несогласны с этим, и есть что-то еще сказать по этому вопросу - возвращайтесь туда и высказывайте. Кстати, я там два раза уже просил об этом - если есть возражения, обоснуйте. А Ваши постоянные утверждения и намеки в духе "вы просто туповат и не понимаете базовых и всем очевидных определений" раздражают и думаю вообще не вкатывают в рамки и правила этого форума. Да, здесь иногда задают вопросы по базовым определениям, которые люди со "способностями" бы не задали, им бы хватило пятиминутного обдумывания. Смиритесь уже с этим, это не является нарушением правил. И кстати, конкретно я здесь задаю такие вопросы вовсе не часто, 180 сообщений за 12 лет - это ни о чем (и далеко не все они касались каких-то базовых определений).
Если есть дальнейшие претензии ко мне - пишите в личных сообщениях, чтобы не уводить эту тему в очередной оффтоп.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: epros, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group