Возрастает ли разность 2^n-3^k

[Alex777lex]

Доброго дня, уважаемые любители математики и профессионалы.
Вопрос собственно в заголовке темы. Гугл, увы, мне не помог. Самая минимальная разница это 2^4-3^3=5 и чем степени возрастают, тем больше разность(соответственно берём ближайшие друг к другу результат возведения в степень). Есть ли доказательство у этого утверждения или встречаются исключения, где разность получается на порядок(-ки) меньше предыдущего вычисления?

[WinterPrimat]

То есть, я правильно понимаю, что решить нужно в цельіх положительньіх числах?

[Alex777lex]

WinterPrimat в сообщении #1581869 писал(а):

То есть, я правильно понимаю, что решить нужно в цельіх положительньіх числах?

Да, разность должна быть положительная.

[Dmitriy40]

У Вас в примере ошибка, должно быть $2^5$.
Минимальная же разница не 5, а 1: $2^2-3^1=1$.
С ростом $k$ разница до ближайшей большей степени двойки растёт, но не монотонно, бывает что некоторая следующая меньше предыдущей.
Бывает и на порядок ($k=41$ меньше чем $k=40$ почти в 15 раз), и на два порядка ($k=306$ в 163 раза), и на три порядка ($k=13606$ почти в 1118 раз), и на четыре порядка ($k=47468$ почти в 15250 раз), и на шесть порядков ($k=190537$ в 2583679.2 раз).

[Andrey A]

Да. Растет, но не строго. Пиковые значения $\dfrac{k}{n} \approx \log_2 3 \approx \dfrac{1}{1},\dfrac{2}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{8}{5},\dfrac{19}{12},\dfrac{65}{41},\dfrac{84}{53},\dfrac{485}{306},\dfrac{1054}{665},...$

[Alex777lex]

Благодарю.
Большущее всем спасибо за помощь!!!

[mathematician123]

Этот вопрос хорошо изучен. Например, доказано, что

$$ \left| 2^k - 3^n \right| \geq \min \left\{ 2^k, 3^n \right\}^{0.9}, $$

Более подробно в этом сообщении.

[Alex777lex]

mathematician123 в сообщении #1581903 писал(а):

Этот вопрос хорошо изучен. Например, доказано, что

$$ \left| 2^k - 3^n \right| \geq \min \left\{ 2^k, 3^n \right\}^{0.9}, $$

Более подробно в этом сообщении.

То что надо!!!! Спасибо!

[Ende]

Alex777lex
Формулы нужно записывать с помощью $\TeX$. Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы.