Парадокс связанный со сходимостями по мере и почти всюду

[Kuga]

Согласно теореме Рисса (Колмогоров, Фомин, Глава 5, параграф 4, Теорема 8), из последовательности измеримых функций $f_n(x)$, сходящейся к $f(x)$ по мере, можно выбрать подпоследовательность $f_{n_k}(x)$, сходящуюся к $f(x)$ почти всюду.

Обратное, вообще говоря не верно, как показывает пример Рисса.

Когда я думал над этой теоремой, то наткнулся на "парадокс", который не смог разрешить. Этот парадокс "выводит" из сходимости по мере сходимость п.в., по крайней мере так кажется на первый взгляд. А где именно происходит ошибка, непонятно.

$\blacktriangle$ Рассмотрим такой процесс (в введенных выше обозначениях):
1) 1-ый шаг: выделяем из $f_n(x)$ некую подпоследовательность $f_{n_k}(x)$ сходящуюся п.в. к $f(x)$, и вычеркиваем все элементы этой подпоследовательности из последовательности $f_n(x)$ , обозначим оставшуюся после этого последовательность $f_n^{(1)}(x)$
...
2) $m$-ый шаг: выделяем из $f_n^{(m-1)}(x)$ некую подпоследовательность $f^{(m-1)}_{n_k}(x)$ сходящуюся п.в. к $f(x)$, и вычеркиваем все элементы этой подпоследовательности из последовательности $f_n^{(m-1)}(x)$ , обозначим оставшуюся после этого последовательность $f_n^{(m)}(x)$.
...

В итоге получаем счетное число подпоследовательностей $f_{n_k}^{(m)}(x)$, каждая из которых сходится к $f(x)$ п.в., причем их объединение равно исходной последовательности $f_n(x)$. Обозначим через $E_m$ множество точек, где $f_{n_k}^{(m)}(x)$ не сходится к $f(x)$. Так как $f_{n_k}^{(m)}(x)$ сходится п.в., то $\mu (E_m)=0$. Мера объединения счетного числа множеств меры 0 есть множество меры 0. Тогда получается, что множество точек, где $f_n(x)$ не сходится к $f(x)$ имеет меру 0, т.е. $f_n(x)$ сходится к $f(x)$ п.в.$\blacktriangle$

Кажется, что множество точек, где $f_n(x)$ не сходится к $f(x)$ есть объединение множеств $E_m$. По крайней мере так для объединения конечного числа последовательностей сходящихся п.в. к $f(x)$. Рассмотрим например объединение двух последовательностей $f_{n_k}^{(1)}(x)$ и $f_{n_k}^{(2)}(x)$ путем чередования их элементов в одну последовательность. Тогда ясно, что результирующая последовательность сходится во всех точках $X\setminus(E_1\cup E_2)$. Видимо при переходе от конечного числа к счетному числу последовательностей что-то нарушается. Я пытался проследить это на примере Рисса, но как это сделать технически непонятно.

Вопрос: как можно разрешить парадокс, описанный выше?

[mihaild]

Kuga в сообщении #1581600 писал(а):

причем их объединение равно исходной последовательности $f_n(x)$.

По умолчанию это не обязательно, но можно легко при построении в очередную подпоследовательность брать еще и первый еще никуда не взятый элемент.

Kuga в сообщении #1581600 писал(а):

Кажется, что множество точек, где $f_n(x)$ не сходится к $f(x)$ есть объединение множеств $E_m$

Ошибка вот здесь - из того, что последовательность можно покрыть сходящимися подпоследовательностями, еще не следует, что последовательность сходится.
Попробуйте разбить последовательность $0, 1, 0, 1, 0, 1, \ldots$ на счётное число последовательностей, каждая из которых сходится к нулю.

[Kuga]

mihaild в сообщении #1581605 писал(а):

Ошибка вот здесь - из того, что последовательность можно покрыть сходящимися подпоследовательностями, еще не следует, что последовательность сходится.
Попробуйте разбить последовательность $0, 1, 0, 1, 0, 1, \ldots$ на счётное число последовательностей, каждая из которых сходится к нулю.

Понятно. Можно покрыть подпоследовательностями вида $1,0,0,0,\ldots$.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1581605 писал(а):

Ошибка вот здесь - из того, что последовательность можно покрыть сходящимися подпоследовательностями

Но если "покрыть" конечным числом сходящихся (к одному и тому же числу) последовательностей, это же будет верно?

Можно выбрать наибольший из таких номеров $N$, начиная с которого все наши последовательности достаточно близко к пределу. А вот в счетном случае такого $N$ может и не найтись.