Асимптотика сумматорных функций от огран. мультипликативных

[vicvolf]

Ранее говорилось об утверждении об асимптотике сумматорных функций topic150727.html

Известна следующая теорема Вирзинга:

Пусть имеется действительная мультипликативная арифметическая функция $-1 \leq g(m) \leq 1,m=1,...,n$, тогда выполняется:

$\lim_{n \to \infty} g(m)/n=\prod_p (1-1/p)\sum_{a\geq 0}g(p^a)/p^a$, (1)

где бесконечное произведение считается равным 0, если оно расходится.

Из доказанного утверждения и теоремы Вирзинга (1) следует:

Утверждение 1

Пусть имеется действительная мультипликативная арифметическая функция $-1 \leq g(m) \leq 1,m=1,...,n$, тогда выполняется следующая асимптотика сумматорной функции:

$\sum_{m \leq n}g(m)=n\prod_p (1-1/p)\sum_{a\geq 0}g(p^a)/p^a+o(n)$, (2)

где бесконечное произведение считается равным 0, если оно расходится.

Справедливо ли утверждение 1? Если да, то я продолжу.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1581302 писал(а):

$\lim_{n \to \infty} g(m)/n=\prod_p (1-1/p)\sum_{a\geq 0}g(p^a)/p^a$, (1)

Исправлю (1):
$\lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} \sum_{m \leq n} g(m)=\prod_p (1-1/p)\sum_{a\geq 0}\frac{g(p^a)}{p^a}$, (1)

[vicvolf]

Молчание. Тогда поясню.

vicvolf в сообщении #1581302 писал(а):

Ранее говорилось об утверждении об асимптотике сумматорных функций topic150727.html

Напомню доказанное утверждение.

Утверждение

Пусть существует предел $d^{*}(S)=\lim_{n \to \infty} \frac {S(n)}{n}$, тогда асимптотика арифметической функции $S$ при $n \to \infty$ имеет вид:
$S(n)=d^{*}(S)n+o(n)$.

Если $S(n)$ является сумматорной функцией от $g(m)$, т.е. $S(n)=\sum_{m \leq n}{g(m)}$, то $d^*(s)=\lim_{n \to \infty} {\frac {S(n)}{n}}=\lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}\sum_{m \leq n}{g(m)}$.

Вирзинг утверждает, что если $g(m)$ - мультипликативная арифметическая функция и $|g(m)| \leq 1$, то данный предел существует и равен произведению (1), когда произведение не бесконечно. В противном случае произведение считается равным 0.

Подставив в утверждение вместо $d^*(s)$ произведение (1), мы получим утверждение 1.

Теперь я перейду к задачам, которые основаны на утверждении 1, в правильности решений которых я хочу убедиться.

[vicvolf]

Первая задача - доказать утверждение 2. Вот моя попытка доказательства.

Утверждение 2
Пусть $g(m)$ действительная мультипликативная арифметическая функция и $|g(m)| \leq 1$, тогда если ряд $\sum_{p} {\frac{1-g(p)}{p}}< \infty$ (сходится), то сходится бесконечное произведение и асимптотика сумматорной функции равна:

$\sum_{m \leq n}{g(m)}=n\prod_p{(1-1/p)\sum_{a \geq 0}{\frac{g(p^a)}{p^a}} +o(n)$. (3)

Если ряд $\sum_{p} {\frac{1-g(p)}{p}}=\infty$ (расходится), то бесконечное произведение (3) стремится к нулю, а асимптотика сумматорной функции равна:

$\sum_{m \leq n}{g(m)}=o(n)$. (4)

Доказательство
Запишем бесконечное произведение в виде:

$\prod_p{(1-1/p)\sum_{a \geq 0}{\frac{g(p^a)}{p^a}}=\prod_p{(1-\frac{1-g(p)}{p}-\frac{g(p)-g(p^2)}{p^2}-...)}$. (5)

Учитывая, что $|g(p^a)| \leq 1,a \geq 1$, то каждый член бесконечного произведения (5) при $p \to \infty$ стремится к 1. Поэтому, начиная с некоторого $N$ каждый член бесконечного произведения положителен и произведение можно прологарифмировать:

$\ln(\prod_{p \geq N}(1-\frac{1-g(p)}{p}-\frac{g(p)-g(p^2)}{p^2}-...))=\sum_{p \geq N}\ln(1-\frac{1-g(p)}{p}+O(1/p^2))=$$-\sum_{p \geq N}\frac{1-g(p)}{p}+O(\sum_{p \geq N}{1/p^2})$ .(6)

Учитывая, что ряд $\sum_p{1/p^2}$ сходится, то если сходится ряд $\sum_p{\frac{1-g(p)}{p}}$, то сходится ряд $\sum_{p \geq N}{\frac{1-g(p)}{p}}$ и сходится ряд (6). Поэтому, в этом случае, сходится бесконечное произведение:

$\prod_{p \geq N}{(1-\frac{1-g(p)}{p}-\frac{g(p)-g(p^2)}{p^2}-...)}$ (7)

и бесконечное произведение (5). Следовательно, на основании утверждения 1, выполняется (3).

Если ряд $\sum_p{\frac{1-g(p)}{p}}=\infty$ (расходится), то ряд (6) расходится к $-\infty$, и бесконечные произведения (7) и (5) стремятся к нулю. Поэтому на основании утверждения 1 выполняется (4).

Буду благодарен за замечания.