Об обобщении параметрически заданных функций(кривых)

[Red_Herring]

mihaild в сообщении #1580934 писал(а):

Я бы сказал, что вопрос о том, как устроено замыкание какой-то известной операции на известном множестве - вполне осмысленен.

Но далеко не всегда интересен математически. Хотя моя позиция гораздо менее экстремистская, чем

krum в сообщении #1580884 писал(а):

Это к концу 19 в. уже понятно было. Поэтому сейчс доказывать, что что-то не решается в элементарных функциях -- это доказывать то, что и так всем понятно. Любители этого, .... до сих пор не перевелись, но это уже давно совершенно маргинальный раздел и ни кому за исключением нескольких человек это неинтересно.

Цитата:

Товарищи ученые, доценты с кандидатами!
Замучились вы с иксами, запутались в нулях
Сидите, разлагаете молекулы на атомы
Забыв, что разлагается картофель на полях...

[krum]

mihaild в сообщении #1580934 писал(а):

В целом я не соглашусь с krum, что вопрос неинтересен. Просто это вопрос алгебры (символьных вычислений), а не анализа.

Хованский с Вами не согласился бы. Он как раз аналитический подход пропагандирует. Собственно, это именно то новое, что он внес в это дело.

Но дело не в этом. Я выдаину два тезиса, которые как мне кажется ценность этой деятельности сильно подмывают.

1) Свойство решения дифура выражаться через элементарные функции бессмысленно с точки зрения геометрии фазового потока.
2) Свойство интеграла (да и решения дифура и ,думаю, всего остального) выражаться в элементарных функциях неустойчиво относительно малых шевелений параметров задачи, это исключительное свойство, а не свойство общего положения. (Вспоминаем про всевозможные понятия корректности)

-- 09.02.2023, 19:05 --

Думаю, что 2) можно формализовать в терминах множеств меры нуль или множеств первой категории Бэра

[mihaild]

krum в сообщении #1580940 писал(а):

Я выдаину два тезиса, которые как мне кажется ценность этой деятельности сильно подмывают.

Мне кажется, чтобы это получилось так, нужен еще третий тезис:
3. Изучение свойств диффуров, не связанных с численным поведением его решений, бессмысленно.
И вот с этим я и не соглашусь.

krum в сообщении #1580940 писал(а):

Думаю, что 2) можно формализовать в терминах множеств меры нуль или множеств первой категории Бэра

Тут вопрос как это формулировать. Потому что даже сами шевеления почти всегда неэлементарны (а элементарно мало пошевелить еще надо постараться).
Ну и я категорически не согласен, что если каких-то функций мало, то их не надо изучать. Типичная функция всюду разрывна, типичная непрерывная функция нигде не дифференцируема и т.д. И скорее всего типичная математическая задача (хотя не могу придумать, как тут задать "типичность") неразрешима

[krum]

mihaild в сообщении #1581026 писал(а):

Мне кажется, чтобы это получилось так, нужен еще третий тезис:
3. Изучение свойств диффуров, не связанных с численным поведением его решений, бессмысленно.
И вот с этим я и не соглашусь.

Я тоже не соглашусь. Я просто не понял Вашу мысль, зачем нужен третий тезис. Дифур это векторное поле на многообразии. Изучаются инвариантные свойства этого поля и его интегральных кривых. В одних координатах интегральные кривые записываются через уравнения в элементарных фурнкциях, в других координатах -- нет. Значит свойство выражаться через элементарные функции неинвариантно. Для дифуров это приговор.

mihaild в сообщении #1581026 писал(а):

Ну и я категорически не согласен, что если каких-то функций мало, то их не надо изучать.

Я вот как раз так вопрос не ставлю. Я говорю про про конкретное свойство выражаться через элементарные функции. Я просто не понимаю, какой смысл взять какой-то произвольный набор функций и исследовать сводимость задач к этому набору. С точки зреня физики это бессмысленно. Давайте посмотрим с точки зрения математики. Где результаты этой науки, теоремы о том, что какой-то интеграл не выражется в элементарных функциях, используются другими разделами математики? Все же связано. А когда какой-то раздел эту связь с остальным зданием утрачивает, то это и называется тупиком.

[mihaild]

krum в сообщении #1581045 писал(а):

Дифур это векторное поле на многообразии

Нет, диффур - это уравнение на дифференциальном кольце. Какие еще координаты, какие многообразия?

krum в сообщении #1581045 писал(а):

Я просто не понимаю, какой смысл взять какой-то произвольный набор функций и исследовать сводимость задач к этому набору.

К конкретному набору - скорее смысла нет. Но в этой области, как правило, рассматриваются более-менее произвольные дифференциальные кольца.
Но, например, для численных методов на практике может оказаться выгодно очень сильно оптимизировать какой-то набор функций, и выражать всё через него, а не по месту. Или посчитать главный член аналитически, а поправку численно.

Вообще, насколько большую область Вы предлагаете выкинуть? Символьное интегрирование, например, тоже выкидываем или оставляем? А формулы для вычисления коэффициентов в рядах?

[krum]

mihaild в сообщении #1581047 писал(а):

Вообще, насколько большую область Вы предлагаете выкинуть?

процитируйте, пожалуйста, мое предложение что-то выкинуть. Вообще поправлять Вас при попытках вложить мне в рот то, что я не говорил, уже немного надоело.

[mihaild]

krum в сообщении #1581050 писал(а):

процитируйте, пожалуйста, мое предложение что-то выкинуть

krum в сообщении #1580940 писал(а):

ценность этой деятельности сильно подмывают