Радиус сходимости ряда Тейлора для рациональной дроби

[eprivalo]

Правильно ли я понимаю, что для $f(x)=\frac{R(x)}{Q(x)}$, где $R(x),Q(x)$ - многочлены с действительными коэффициентами, ряд Тейлора в любой точке $a$ сходится на интервале $(x_1,x_2)$, где $x_1,x_2$ - два соседних корня $Q(x)$ и $a\in(x_1,x_2)$?
Если это не так, подскажите, пожалуйста, где можно почитать подробности?

[mihaild]

eprivalo в сообщении #1580484 писал(а):

ряд Тейлора в любой точке $a$ сходится на интервале $(x_1,x_2)$,

Уж как минимум область сходимости должна быть симметрична относительно $a$.

Плюс рассмотрите случай $R(x) = 1$, $Q(x) = x^2 + 1$.
Почитать в любом учебнике по комплексному анализу, например Шабат, "Введение в комплексный анализ".

[eprivalo]

mihaild в сообщении #1580496 писал(а):

eprivalo в сообщении #1580484 писал(а):

ряд Тейлора в любой точке $a$ сходится на интервале $(x_1,x_2)$,

Уж как минимум область сходимости должна быть симметрична относительно $a$.

Понял, спасибо.

Цитата:

Плюс рассмотрите случай $R(x) = 1$, $Q(x) = x^2 + 1$.

Я посчитал радиус сходимости по формуле Даламбера и получил, что предела (значение которого должно давать радиус) не существует. Как это нужно трактовать?

[mihaild]

eprivalo в сообщении #1580603 писал(а):

Я посчитал радиус сходимости по формуле Даламбера и получил, что предела (значение которого должно давать радиус) не существует

Покажите расчеты тут. Как минимум при некоторых $x$ существует.
Но вообще для определения сходимости степенного ряда удобнее использовать теорему Коши-Адамара (а еще удобнее как раз методы комплексного анализа, которые позволяют в данном случае определить радиус даже не выписывая коэффициенты).

[eprivalo]

mihaild в сообщении #1580606 писал(а):

eprivalo в сообщении #1580603 писал(а):

Я посчитал радиус сходимости по формуле Даламбера и получил, что предела (значение которого должно давать радиус) не существует

Покажите расчеты тут. Как минимум при некоторых $x$ существует.
Но вообще для определения сходимости степенного ряда удобнее использовать теорему Коши-Адамара (а еще удобнее как раз методы комплексного анализа, которые позволяют в данном случае определить радиус даже не выписывая коэффициенты).

Раскладываю в ряд Тейлора в точке $x=0$:
$f(x)=\frac{1}{x^2+1}=1-x^2+x^4-x^6+x^8-\dots$. Отсюда получаю, что $f^{(k)}(0)=\left\{ \begin{array}{11} (-1)^{k/2}k!, & 2 \mid k\\ 0, & 2\nmid k\\ \end{array}\right.$
По формуле Даламбера: $R=\lim\limits_{k\to \infty}\left|\frac{f^{(k)}}{f^{(k+1)}}\cdot(k+1)\right|$, но его не существует, поскольку можно выделить две подпоследовательности, одна из нулей, вторая из бесконечностей.

Пока писал, понял, что много чего не помню из теории, надо сначала было почитать, а потом тут вопросы спрашивать :). Но спасибо в любом случае.

[mihaild]

Признак Даламбера - для числовых рядов, в него нужно прямо общий член ряда подставлять, $(-1)^n x^{2n}$.
И да, если нулевых членов напихать, то критерий Даламбера применить не получится. Но поскольку он для чисел, а нулевые члены ряда на сходимость не влияют, то можно ограничиться рассмотрением $\frac{f^{(k)}}{f^{(k + 2})}$ для четных $k$. И тут всё получится.

[eprivalo]

mihaild в сообщении #1580614 писал(а):

Признак Даламбера - для числовых рядов, в него нужно прямо общий член ряда подставлять, $(-1)^n x^{2n}$.
И да, если нулевых членов напихать, то критерий Даламбера применить не получится. Но поскольку он для чисел, а нулевые члены ряда на сходимость не влияют, то можно ограничиться рассмотрением $\frac{f^{(k)}}{f^{(k + 2})}$ для четных $k$. И тут всё получится.

Ясно, спасибо

[pppppppo_98]

eprivalo в сообщении #1580603 писал(а):

Я посчитал радиус сходимости по формуле Даламбера и получил, что предела (значение которого должно давать радиус) не существует. Как это нужно трактовать?

Вам уважаемый нужно перейти в поле комплексных чисел (правда вот непонятно на каком вы курсе - похоже на первом а это проблема). Там развита в высшей степени теория аналитических функций. В этом поле эту Рациональную функцию можно представить в виде суммы двух простых рациональных функций $f(x)=\frac{1}{2 i} (\frac{1}{x-i})-\frac{1}{x+i})$. А далее из общей теории известна, что если функция аналитическая (представляется в виде ряда тейлора)в какой-то малой круговой окрестности точки $z_o$, то она остается и такой вплоть до круга на которой возникает особенность. Применяя к нашим баранам у нас особенности(полюсов) $z=\pm i$. Ну и соответственно радиус сходимости в любой точке $x_0$ на действительной оси - это расстояние до этих $R=min(|x_0+i|,|x_0-i|)=\sqrt{x_0^2+1}$ . И лучше наверное критерий адамара применять https://clck.ru/33V3Qv . Можно и Даламбера, но нужно привести в правильную, форму - повыкидывать из ряда нечетные нули, ибо теорема выполняется при условии существования предела - а если предела не существует (как в вашем исходном построении), может быть что угодно

[мат-ламер]

pppppppo_98 в сообщении #1580727 писал(а):

ибо теорема выполняется при условии существования предела

Вроде это необязательно (однако, смотря какая теорема).

[pppppppo_98]

мат-ламер в сообщении #1580764 писал(а):

Вроде это необязательно (однако, смотря какая теорема).

ну вобщем-то обязательно и автор и приводит пример ряда (если боваить бесконечное количество нулей в нечетные члены - где если в лоб применять критерий как раз и получается ситуация, что предела то нет... Доесть это достаточное условие а не необходимое для произвольного ряда

https://clck.ru/33VD7c