Почему не работает теорема о свертке?

[Imedved]

Допустим u(t) и v(t) два абсолютно интегрируемых сигнала, имеющие U($\omega$) и V($\omega$) Фурье интегралы соответственно. Произведение U($\omega$)$\cdot$ V($\omega$) должно являться Фурье интегралом от свертки
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$.
Это я правильно понял? Хочу проверить эту теорему на каких-нибудь простых сигналах. Например, на двух простых прямоугольных импульсах c центром в t=0.
Предположим

$$u(t)=\begin{cases} A,&\text{если $-\frac{T}{2}\leqslant t \leqslant \frac{T}{2}$;}\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases}\ v(t)=\begin{cases} B,&\text{если $-\frac{\Delta}{2}\leqslant t \leqslant \frac{\Delta}{2}$;}\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases}$$

где $\Delta\geqslant T$ чисто для определенности.
Их Фурье интегралы будут равны
$U(\omega)=A$\cdot$ $\frac{\sin(T\cdot\frac{\omega}{2})}{\frac{\omega}{2}}$ и V($\omega$)=B$\cdot$ $\frac{\sin(\Delta\cdot\frac{\omega}{2})}{\frac{\omega}{2}}$$ соответственно. Произведение $U(\omega)$\cdot$V($\omega$)=$\frac{4AB}{\omega^2}$\cdot$ $\sin(T\cdot\frac{\omega}{2})$\cdot$ $\sin(\Delta\cdot\frac{\omega}{2})}$$
Свертка сигналов u(t) и v(t) представляет собой трапецию:
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$ = $\begin{cases} 0,&\text{если $t\leqslant -\frac{\Delta+T}{2}$;}\\ AB(\frac{\Delta+T}{2}+t),&\text{если $-\frac{\Delta+T}{2}\leqslant t \leqslant -\frac{\Delta-T}{2}$;}\\ ABT,&\text{если $-\frac{\Delta-T}{2}\leqslant t \leqslant \frac{\Delta-T}{2}$;}\\ AB(\frac{\Delta+T}{2}-t),&\text{если $ \frac{\Delta-T}{2}\leqslant t \leqslant \frac{\Delta+T}{2}$;}\\ 0,&\text{если $t\geqslant \frac{\Delta+T}{2}$.} \end{cases}$
Если пока я всё правильно понимаю, то прямое преобразование Фурье от этой "трапеции" должно быть равно произведению $U(\omega)$\cdot$V($\omega$)=$\frac{4AB}{\omega^2}$\cdot$ $\sin(T\cdot\frac{\omega}{2})$\cdot$ $\sin(\Delta\cdot\frac{\omega}{2})}$$
Но у меня никак не получается. Интегралы берутся, но кроме произведения синусов там получается ещё два крупных слагаемых, которые никак не хотят взаимоуничтожаться. Фурье преобразование трапеции наберу потом, это очень долго.

[Утундрий]

Imedved в сообщении #1579648 писал(а):

Фурье интегралы

Вы так называете фурье-трансформанту?

[Imedved]

Да. Операцию которая противоставляет функции f(t) функцию

$$F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot e^{-i\omega t}dt$$

Эту штуку некорректно называть интегралом Фурье?

[Утундрий]

Интегралом Фурье - да, а наоборот это просто какой-то "генерал товарищ" получается. Понять можно, но так не говорят.

Теперь по сути вопроса: теорема, разумеется, работает. Ищите ошибку в своих выкладках.

[svv]

(Imedved)

Ваш $\TeX$ неплох, но не идеален.
Сравните вид:
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$
$u(t)*v(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(\tau)\,v(t-\tau)\,d\tau$
Сравните код:
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$
$u(t)*v(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(\tau)\,v(t-\tau)\,d\tau$
Знаки доллара должны быть в начале и в конце формулы, но не в середине.
Точка в качестве знака умножения чисел в 99% случаев не нужна.
Я вставил небольшие (и необязательные) пробелы между множителями в подынтегральной функции, код \, или \; .

[Markiyan Hirnyk]

Проверим с Математикой (в ней иной множитель перед интегралом)

tr=FourierTransform[Piecewise[{{A*B*(\[CapitalDelta]/2+T/2+t),t>-\[CapitalDelta]/2-T/2&&t<=-\[CapitalDelta]/2+T/2},{A*B*T,t>-\[CapitalDelta]/2+T/2&&t<=\[CapitalDelta]/2-T/2},{A*B*(\[CapitalDelta]/2+T/2-t),t>\[CapitalDelta]/2-T/2&&t<=\[CapitalDelta]/2+T/2},{0,True}}],t,\[Omega]];
FullSimplify[tr, Assumptions -> \[CapitalDelta] > 0 && T > 0 && \[CapitalDelta] > T]

-((A B E^(-(1/2) I (T + \[CapitalDelta]) \[Omega]) (-1 + E^(  I T \[Omega])) (-1 + E^(I \[CapitalDelta] \[Omega])))/
( Sqrt[2 \[Pi]] \[Omega]^2))

$-\frac{A B \left(-1+e^{i \Delta \omega }\right) \left(-1+e^{i T \omega }\right) e^{-\frac{1}{2} i \omega (\Delta +T)}}{\sqrt{2 \pi } \omega ^2}$
Сошлось.

[Imedved]

Напишите, пожалуйста, нормально, как берёте интеграл. Можно картинку PrtSc экрана. Просто я беру интеграл в MathCad и он не такой, какой должен быть.

-- 01.02.2023, 18:35 --

Свертка (трапеция) верно построена?
Если да, то вот результат её интегрирования. Причем не в ручную, а аналитическими вычислениями в MathCad. Вручную тоже считал, получилось то же самое.

$$\int\limits_{-\frac{\Delta+T}{2}}^{-\frac{\Delta-T}{2}}(\frac{\Delta+T}{2}+t)\cos(\omega t)dt +\int\limits_{-\frac{\Delta-T}{2}}^{\frac{\Delta-T}{2}}T \cos(\omega t)dt + \int\limits_{\frac{\Delta-T}{2}}^{\frac{\Delta+T}{2}}(\frac{\Delta+T}{2}-t)\cos(\omega t)dt\to \frac{4}{\omega^2}\sin(\frac{T\omega}{2})\sin(\frac{\Delta\omega}{2}) - $$

$$\ - \frac{2T}{\omega}\sin(\frac{T \omega}{2}-\frac{\Delta \omega}{2})+\frac{2T}{\omega}\sin(\frac{T \omega}{2})\cos(\frac{\Delta\omega}{2})- \frac{2T}{\omega}\sin(\frac{\Delta \omega}{2})\cos(\frac{T\omega}{2})$$

Верхняя строчка - то, что надо, а нижние члены явная лажа, причём они никуда деваться и обнуляться не хотят. И они в сумме никак не дают ноль, по крайне мере при $T\ne\Delta$, а являют собой вполне себе функцию от $\omega$

-- 01.02.2023, 18:37 --

За свой набор формул тоже извиняюсь, но это мой четвёртый или пятый пост на форуме за 5 лет, так что и такой набор дается мне с трудом.

Всё, разобрался. Обнуляются эти три члена. Последние 2 синус разности. Не знаю, два дня проверял, ошибку найти не мог.

[artempalkin]

Imedved в сообщении #1579741 писал(а):

Верхняя строчка - то, что надо, а нижние члены явная лажа, причём они никуда деваться и обнуляться не хотят. И они в сумме никак не дают ноль, по крайне мере при $T\ne\Delta$, а являют собой вполне себе функцию от $\omega$

А вы вынесите множитель $\frac {2T}{\omega}$ за скобки во "второй строке" (он же все равно неважен, если это ноль, правильно?), а дальше в скобках мысленно или реально временно замените $\frac {T\omega}2=a$ и $\frac{\Delta \omega}2=b$

[Утундрий]

artempalkin

Imedved в сообщении #1579741 писал(а):

Всё, разобрался.

[artempalkin]

artempalkin в сообщении #1580527 писал(а):

Всё, разобрался. Обнуляются эти три члена. Последние 2 синус разности. Не знаю, два дня проверял, ошибку найти не мог.

Ага, ну да.

Хотел немного прокомментировать

Imedved в сообщении #1579648 писал(а):

Допустим u(t) и v(t) два абсолютно интегрируемых сигнала, имеющие U($\omega$) и V($\omega$) Фурье интегралы соответственно. Произведение U($\omega$)$\cdot$ V($\omega$) должно являться Фурье интегралом от свертки
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$.

Верно, если один из сигналов финитный. В остальных случаях - не знаю.

-- 06.02.2023, 20:18 --

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1580528 писал(а):

Всё, разобрался.

Да, бывает же, такие вещи не замечаешь :)

[krum]

artempalkin в сообщении #1580530 писал(а):

Верно, если один из сигналов финитный. В остальных случаях - не знаю.

в остальных тоже верно